Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Znajdź wszystkie czwórki liczb naturalnych \(\displaystyle{ (a,b,c,d)}\) takich, że \(\displaystyle{ \\ \begin{cases} a | bcd+1 \\ b | cda+1 \\ c | dab +1 \\ d | abc+1 \end{cases}.}\)
Na moje oko to tylko: \(\displaystyle{ (1,1,1,1) ; (3,2,1,1) ; (2,1,1,1)}\)
Przyjmijmy \(\displaystyle{ P=abcd}\). Wtedy, \(\displaystyle{ a| \frac{P}{a}+1}\) itd. Wymnażamy te podzielności, dostajemy, że \(\displaystyle{ \frac{1}{abcd}+ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} + \frac{1}{c}+ \frac{1}{d}}\) jest całkowite. A to się już daje jakoś rozwiązać w skończonym czasie...
no faktycznie. nie mam pomysłu jak rozwiązać to ostatnie \(\displaystyle{ \frac{1}{abcd}+ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} + \frac{1}{c}+ \frac{1}{d}}\) w jakiś ładny sposób. Bo wiemy w zasadzie tylko tyle, że \(\displaystyle{ min(a,b,c,d) \le 5}\) i NWD dowolnych dwóch liczb ze zbioru \(\displaystyle{ (a,b,c,d) =1}\) więc mamy skończoną liczbę przypadków...
Zadanie znalazło się w \(\displaystyle{ 101}\) nierozwiązanych, więc oto pełne rozwiązanie
Ukryta treść:
Tak jak zaczął porfirion zapisujemy podzielności: \(\displaystyle{ a \mid \frac{P}{a}+1 \quad b \mid \frac{P}{b}+1 \quad c \mid \frac{P}{c}+1 \quad d \mid \frac{P}{d}+1}\)
wymnażamy i mamy: \(\displaystyle{ P \mid P^{3}+P^{3} \sum_{\mbox{sym}}\frac{1}{abc}+P^{2} \sum_{\mbox{sym}}\frac{1}{ab}+P \sum_{\mbox{sym}}\frac{1}{a}+1 \Leftrightarrow \sum_{\mbox{sym}}\frac{1}{a}+\frac{1}{abcd} \in \ZZ}\)
Ponieważ wszystkie niewiadome są dodatnie musi zachodzić \(\displaystyle{ \sum_{\mbox{sym}}\frac{1}{a}+\frac{1}{abcd} \in \ZZ_{+}}\). Warunkiem koniecznym jest: \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{abcd} \ge 1}\)
No i jeszcze krótki dowód, że wszystkie zmienne są parami względnie pierwsze. Niech \(\displaystyle{ \left(a, \ b\right)=e}\). Z własności \(\displaystyle{ z \mid x \wedge x \mid y \Rightarrow z \mid y}\), otrzymujemy: \(\displaystyle{ e \mid a \wedge a \mid bcd+1 \Rightarrow e \mid bcd+1}\)
Mamy też \(\displaystyle{ e \mid b \Rightarrow e \mid bcd}\) i po odjęciu stronami \(\displaystyle{ e \mid 1 \Rightarrow e =1}\)
Załóżmy BSO, że \(\displaystyle{ a \ge b \ge c \ge d}\). Otrzymamy wszystkie rozwiązania z dokładnością do permutacji. Załóżmy, że \(\displaystyle{ d \ge 5}\), wówczas: \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{abcd} \le \frac{4}{5}+\frac{1}{625} < 1}\).
Załóżmy, że \(\displaystyle{ d=4}\)
Wówczas mamy warunek konieczny: \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{4abcd} \ge \frac{3}{4}}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ c \ge 5}\), wówczas: \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{4abc} \le \frac{3}{5}+\frac{1}{500}=\frac{301}{500}<\frac{375}{500}=\frac{3}{4}}\)
Skoro jednak \(\displaystyle{ 5 > c \ge d =4 \wedge \left(c, \ d \right)=1}\) to sprzeczność.
Niech \(\displaystyle{ d=3}\). Nasz warunek konieczny przybiera postać: \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{3abc} \ge \frac{2}{3}}\)
Niech \(\displaystyle{ c \ge 5}\), mamy: \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{3abc} \le \frac{3}{5}+\frac{1}{375}=\frac{226}{375}<\frac{250}{375}=\frac{2}{3}}\)
Skoro zatem \(\displaystyle{ 5 > c \ge d =3 \wedge \left(c, \ d \right)=1}\), to \(\displaystyle{ c=4}\). Mamy: \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{12ab} \ge \frac{5}{12}}\)
Niech \(\displaystyle{ b\ge 5}\). Wówczas: \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{12ab} \le \frac{2}{5}+\frac{1}{300}=\frac{121}{300}<\frac{125}{300}=\frac{5}{12}}\)
Mamy jednocześnie \(\displaystyle{ 5 > b \ge c =4 \wedge \left(b, \ c \right)=1}\), więc sprzeczność. Niech \(\displaystyle{ d=2}\): \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{2abc}\ge\frac{1}{2}}\)
Niech \(\displaystyle{ c \ge 7}\): \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{2abc} \le \frac{3}{7}+\frac{1}{686}=\frac{3}{7}-\frac{1}{2}+\frac{1}{686}+\frac{1}{2}=-\frac{1}{14}+\frac{1}{686}+\frac{1}{2} < \frac{1}{2}}\)
Zatem \(\displaystyle{ c < 7}\). Wiemy też, że \(\displaystyle{ \left(c, \ d\right)=\left(c, \ 2 \right)=1}\), więc \(\displaystyle{ 2 \nmid c}\). Niech \(\displaystyle{ c=5}\). Nasz warunek konieczny przybiera postać: \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{10ab} \ge \frac{3}{10}}\)
Niech \(\displaystyle{ b \ge 7}\). Wtedy mamy: \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{10ab} \le \frac{2}{7}+\frac{1}{490}=\frac{2}{7}-\frac{3}{10}+\frac{1}{490}+\frac{3}{10}=-\frac{1}{21}+\frac{1}{490}+\frac{3}{10}<\frac{3}{10}}\)
Zatem \(\displaystyle{ 7 > b \ge c =5}\). Wiemy też, że \(\displaystyle{ \left(b, \ d\right)=\left(b, 2\right) =1 \wedge \left(b, \ c \right)=1}\), więc \(\displaystyle{ 2 \nmid b}\) i sprzeczność. Niech \(\displaystyle{ c=3}\): \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{6ab} \ge \frac{1}{6}}\)
Niech \(\displaystyle{ b \ge 13}\). Wówczas mamy: \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{6ab} \le \frac{2}{13}+\frac{1}{1014}=\frac{2}{13}-\frac{1}{6}+\frac{1}{1014}+\frac{1}{6}=-\frac{1}{78}+\frac{1}{1013}+\frac{1}{6}<\frac{1}{6}}\)
Zatem \(\displaystyle{ 13>b \ge c = 3}\). Wiemy też, że \(\displaystyle{ \left(b, \ d \right) =\left(b, \ 2 \right)=1 \wedge \left(b, \ c \right) =\left(b, \ 3 \right)=1 \Rightarrow 2 \nmid b \wedge 3 \nmid b}\). Niech \(\displaystyle{ b=11}\). Szukamy takiej liczby \(\displaystyle{ a}\), że spełnia ona warunki: \(\displaystyle{ a \ge b =11 \wedge \left(a, \ b \right)=\left(a, \ c\right)=\left(a, \ d \right)=\left(a, \ 2 \right) = \left(a, \ 3 \right) =\left(a , \ 11\right)=1 \wedge \\ \wedge a \mid 2 \cdot 3 \cdot 11 +1=67}\)
Jedyną taką liczbą jest \(\displaystyle{ a=67}\). Jednak nie zachodzą pozostałe podzielności \(\displaystyle{ b \nmid acd+1 \Leftrightarrow 11 \nmid 2 \cdot 3 \cdot 67+1=403}\). Niech \(\displaystyle{ b=7}\). Szukamy takiej liczby \(\displaystyle{ a}\), że spełnia ona warunki: \(\displaystyle{ a \ge b =7 \wedge \left(a, \ b \right)=\left(a, \ c\right)=\left(a, \ d \right)=\left(a, \ 2 \right) = \left(a, \ 3 \right) =\left(a , \ 7\right)=1 \wedge \\ \wedge a \mid 2 \cdot 3 \cdot 7 +1=43}\)
Jedyną taką liczbą jest \(\displaystyle{ a=43}\). Łatwo sprawdzić, że czwórka \(\displaystyle{ \left( 43, \ 7, \ 3, \ 2\right)}\) spełnia warunki zadania. Niech \(\displaystyle{ b=5}\). Szukamy takiej liczby \(\displaystyle{ a}\), że spełnia ona warunki: \(\displaystyle{ a \ge b =5 \wedge \left(a, \ b \right)=\left(a, \ c\right)=\left(a, \ d \right)=\left(a, \ 2 \right) = \left(a, \ 3 \right) =\left(a , \ 5\right)=1 \wedge \\ \wedge a \mid 2 \cdot 3 \cdot 5 +1=31}\). Jedyną taką liczbą jest \(\displaystyle{ a=31}\). Jednak nie zachodzi podzielność \(\displaystyle{ c \nmid abd+1 \Leftrightarrow 3 \nmid 31 \cdot 5 \cdot 2+1=311}\). Niech \(\displaystyle{ d=1}\). \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{abcd} \in \ZZ \Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{abc} \in \ZZ}\).
A ponieważ wszystkie niewiadome są dodatnie, to \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{abc} \in \ZZ_{+}}\).
Warunkiem koniecznym na to jest: \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{abc} \ge 1}\)
Niech \(\displaystyle{ c \ge 4}\), wtedy: \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{abc} \le \frac{3}{4}+\frac{1}{64}= \frac{49}{64}<1}\)
Niech więc \(\displaystyle{ c=3}\). Nasz warunek konieczny przybiera postać: \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{3ab} \ge \frac{2}{3}}\)
Niech \(\displaystyle{ b \ge 4}\), wtedy: \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{3ab} \le \frac{1}{2}+\frac{1}{48}=\frac{25}{48}<\frac{32}{48}=\frac{2}{3}}\)
Mamy zatem \(\displaystyle{ 4 > b \ge c = 3}\), a z drugiej strony \(\displaystyle{ \left(b, \ c \right)=\left( b, \ 3\right)=1}\) więc sprzeczność. Niech \(\displaystyle{ c=2}\). Nasz warunek konieczny to: \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{2ab} \ge \frac{1}{2}}\)
Niech \(\displaystyle{ b\ge 5}\), wówczas: \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{2ab} \ge \frac{2}{5}+\frac{1}{200}=\frac{81}{200}<\frac{1}{2}}\)
Zatem \(\displaystyle{ 5 > b \ge c=2}\), oraz \(\displaystyle{ \left( b, \ c\right)=\left( b, \ 2\right)=1 \Rightarrow 2 \nmid b}\). Czyli \(\displaystyle{ b=3}\). Szukamy takiej liczby \(\displaystyle{ a}\), że spełnia ona warunki: \(\displaystyle{ a \ge b =3 \wedge \left(a, \ b \right)=\left(a, \ c\right)=\left(a, \ d \right)=\left(a, \ 1 \right) = \left(a, \ 2 \right) =\left(a , \ 3\right)=1 \wedge \\ \wedge a \mid 1 \cdot 2 \cdot 3 +1=7}\). Jedyną taką liczbą jest \(\displaystyle{ a=7}\). Łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ \left( 7, \ 3, \ 2, \ 1 \right)}\) spełnia warunki zadania. Niech \(\displaystyle{ c=1}\), wtedy: \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{abc} \in \ZZ \Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab} \in ZZ}\)
A ponieważ wszystkie niewiadome są dodatnie, mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab} \in ZZ_{+}}\) na co warunkiem koniecznym jest: \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab} \ge 1}\)
Niech \(\displaystyle{ b \ge 3}\), wtedy szacujemy: \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab} \le \frac{2}{3}+\frac{1}{9}=\frac{7}{9}<1}\)
Zatem \(\displaystyle{ b<3}\). Niech \(\displaystyle{ b=2}\). Szukamy takiej liczby \(\displaystyle{ a}\), że spełnia ona warunki: \(\displaystyle{ a \ge b =2 \wedge \left(a, \ b \right)=\left(a, \ c\right)=\left(a, \ d \right)=\left(a, \ 1 \right) = \left(a, \ 2 \right) =1 \wedge \\ \wedge a \mid 1 \cdot 1 \cdot 2 +1=3}\). Jedyną taką liczbą jest \(\displaystyle{ a=3}\). Łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ \left( 3, \ 2, \ 1, \ 1 \right)}\) spełnia warunki zadania. Niech \(\displaystyle{ b=1}\). Szukamy takiej liczby \(\displaystyle{ a}\), że \(\displaystyle{ a \ge b=1}\) i \(\displaystyle{ a \mid 1\cdot 1\cdot 1 +1 =2}\). Jedyne takie liczby, to \(\displaystyle{ a=2}\) i \(\displaystyle{ a=1}\). Łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ \left(2, \ 1, \ 1, \ 1 \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( 1, \ 1, \ 1, \ 1\right)}\) spełniają warunki zadania. Podsumowanko. Wszystkie rozwiązania to czwórki \(\displaystyle{ \left( 1, \ 1, \ 1, \ 1\right), \ \left( 1, \ 1, \ 1, \ 2\right), \ \left( 1, \ 1, \ 2, \ 3 \right), \ \left( 1, \ 2, \ 3, \ 7 \right), \ \left( 2, \ 3, \ 7, \ 43 \right)}\) i ich wszelakie permutacje. Łącznie istnieje \(\displaystyle{ 65}\) rozwiązań.
Sprawdziłem wszystkie przypadki. Dochodzi jeszcze (1, 2, 3, 7)
Znajdź wszystkie trójki liczb naturalnych \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) takich, że \(\displaystyle{ \\ \begin{cases} a | bc+1 \\ b | ca+1 \\ c | ab +1 \end{cases}.}\)
Jako łatwe cwiczenie mozna udowodnić, iz tu rozwiazanie jest jedyne \(\displaystyle{ (2, 3, 7)}\)
