[MIX] Zadania różne IV

[mol_ksiazkowy]

1. Na spotkaniu matematyków okazało się, że każdy matematyk ma co najmniej jednego znajomego, ale żadni matematycy, którzy mają równą ilość znajomych, nie mają wspólnego
znajomego. Udowodnić, że wśród nich jest matematyk który ma tylko jednego znajomego.
2. Liczby \(\displaystyle{ a_1, ..., a_k}\) są różnymi elementami zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, ..., n \}}\) oraz \(\displaystyle{ k \geq 2}\), takimi że \(\displaystyle{ n}\) dzieli \(\displaystyle{ a_i(a_{i+1}-1)}\) dla \(\displaystyle{ i =1, ..., k-1}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ n}\) nie dzieli \(\displaystyle{ a_k(a_1-1)}\)
3. Zbiór \(\displaystyle{ A \subset [0, 1]}\) jest złożony z rozłącznych odcinków. Ponadto jeśli \(\displaystyle{ x, y \in A}\) to \(\displaystyle{ |x-y| \neq \frac{1}{10}}\). Wykazać, ze suma długości wszystkich odcinków ze zbioru \(\displaystyle{ A}\) nie przekracza \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).
4. Wykazać, że w wypukłym \(\displaystyle{ n}\) kącie można znaleźć \(\displaystyle{ n-2}\) takich punktów, że \(\displaystyle{ B_2, ...., B_{n-1}}\) iż każdy trójkąt \(\displaystyle{ A_iA_jA_k}\) zawiera dokładnie jeden z tych punktów.
Dlaczego założenie o wypukłości jest istotne ?
5. Wewnątrz kwadratu jest zbiór odcinków o końcach na obwodzie kwadratu. Suma długości tych odcinków jest równa \(\displaystyle{ 3}\). Wykazać, że gdy \(\displaystyle{ 8r <1}\) to w kwadracie tym istnieje koło o promieniu \(\displaystyle{ r}\) rozłączne z każdym z tych odcinków (tj. nie przecinające żadnego z nich).
6. Niech \(\displaystyle{ p}\) bedzie liczba pierwsza, a \(\displaystyle{ n}\) liczba naturalna. Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ pn^2}\) ma co najwyżej jeden dzielnik \(\displaystyle{ d}\) taki że \(\displaystyle{ n^2+ d}\) jest kwadratem liczby całkowitej
7. rozwiązane przez Hydra147
Dowieść, że jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest liczba naturalną, to istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ a, b}\) takie, że \(\displaystyle{ n=\frac{ab+1}{a+b}}\)
8. rozwiązane przez Hydra147
Jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest ustaloną liczbą całkowitą to niech
\(\displaystyle{ f_k(x, y)= x^2+kxy+y^2}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in Z}\)
Wykazać, że nie istnieje \(\displaystyle{ k}\), takie, że zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ f_k}\) jest zbiór \(\displaystyle{ Z}\).
9. rozwiązane przez yorgina
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ r, s}\) są rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ x^2 - (a+d)x + ad-bc=0}\) to
\(\displaystyle{ r^3}\) i \(\displaystyle{ s^3}\) spełniają równanie \(\displaystyle{ x^2 - (a^3+ d^3+ 3abc+ 3bcd )x + (ad - bc)^3=0}\)
10. Dowieść, że jeśli liczby naturalne \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są takie, że \(\displaystyle{ x^p - y^q = 1}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są liczbami pierwszymi oraz \(\displaystyle{ p > q >3}\) to \(\displaystyle{ q}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ x}\)
m

11. rozwiązane przez timona92
Wykazać, że nie istnieją liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x, y, z, t}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} |x| > |y-z+t|\\ |y| > |x-z+t|\\ |z| > |x-y+t |\\ |t|> |x-y+z| \end{cases}}\)
a następnie rozwiązać układ nierówności przeciwnych
12. rozwiązane przez Ponewora
Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą, dla której istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ a}\), że \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ 2a^2 - 1}\). Wykazać, iż istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) że \(\displaystyle{ p= 2b^2 - c^2}\).
13. rozwiązane przez Hydra147
Czy ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) taki że \(\displaystyle{ a_{3n+1}= 1}\) dla \(\displaystyle{ n =0, 1, 2, …}\) oraz \(\displaystyle{ a_{3n}= 0}\) dla \(\displaystyle{ n =1, 2, 3, …}\) oraz \(\displaystyle{ a_{2n}=a_n}\) dla \(\displaystyle{ n =1, 2, …}\) jest okresowy ? Podać dowód bądź kontrprzykład
14. W pewnym królestwie jest 13 miast. Między pewnymi parami miast tworzymy dwukierunkowe bezpośrednie połączenia autobusowe, kolejowe lub lotnicze. Jaka najmniejsza liczbę połączeń trzeba utworzyć, aby, po wybraniu dowolnej pary środków transportu, można było dojechać z każdego miasta do każdego innego, nie używając pojazdów trzeciego rodzaju ?
baltic
15. rozwiązane przez mol_ksiazkowy
Dwie osoby grają na nieskończonej szachownicy w kółko i krzyżyk. Wygrywa ten, kto jako pierwszy zbuduje kwadrat \(\displaystyle{ 2 \times 2}\).
Kto ma strategię wygrywającą i jaką ?
16. rozwiązane przez mortan517
Rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ x^3 + (\frac{x}{2x-1})^3 =\frac{3^5}{2^6}}\)
KöMaL
17. rozwiązane przez Marcinek665
Niech \(\displaystyle{ A= \{ a^2+ ab+ b^2 \ : a, b \in Z \}}\). Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ x, y \in A}\) to \(\displaystyle{ xy \in A}\).
Uwaga: \(\displaystyle{ Z}\) oznacza zbiór liczb całkowitych
18. rozwiązane przez yorgina i Hydra147
Wykazać, że ciąg określony rekurencją \(\displaystyle{ u_1 =1 ; u_2 = 2}\) ; oraz \(\displaystyle{ u_{n+1}= 3u_n - u_{n-1}}\) pokrywa się z ciągiem Fibbonaciego o indeksach nieparzystych (tj. z ciągiem \(\displaystyle{ F_{2n-1}}\)).
19. Czy w trójkącie Pascala istnieje wiersz a w nim różne elementy \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) że \(\displaystyle{ b=2a}\) oraz \(\displaystyle{ d=2c}\) ?
20. rozwiązane przez Hydra147
Dowieść, że liczba \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) może być wyrażona na \(\displaystyle{ 10}\) sposobów jako suma trzech ułamków prostych (składniki mogą się powtarzać) i wyznaczyć je.

21. rozwiązane przez yorgina
Ile jest funkcji \(\displaystyle{ f}\) odwzorowujących zbiór \(\displaystyle{ n}\)- elementowy w ten sam zbiór, że \(\displaystyle{ f^{n-1}}\) jest funkcją stałą, zaś \(\displaystyle{ f^{n-2}}\) nie jest funkcją stałą, gdzie \(\displaystyle{ f^{n} = \underbrace{f \circ \ldots \circ f}_{n}}\), a \(\displaystyle{ n}\) jest ustaloną liczbą naturalną większą od \(\displaystyle{ 2}\) ?
om 35
22. Dowieść, że dla dowolnego czworościanu iloczyny długości jego przeciwległych krawędzi są długościami boków trójkąta
om 37
23. rozwiązane przez Hydra147
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem \(\displaystyle{ n}\) elementowym oraz \(\displaystyle{ A_1, ..., A_n}\) jego różnymi podzbiorami. Udowodnić, że istnieje \(\displaystyle{ x \in X}\) taki, że zbiory \(\displaystyle{ B_j = A_j \backslash \{x \}}\) także są różne między sobą.
zb
24. rozwiązane przez Hydra147
Wyznaczyć ułamek w przedziale \(\displaystyle{ ( \frac{47}{245}, \frac{34}{177})}\) z najmniejszym możliwie mianownikiem
KöMaL
25. rozwiązane przez Kartezjusza
Niech \(\displaystyle{ DE}\) będzie cięciwą okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), równoległa do \(\displaystyle{ BC}\). Dowieść, że jeśli \(\displaystyle{ |BD|= |CE|}\) to trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest równoramienny
26. Różne między sobą liczby rzeczywiste ustawione są w prostokąt. W każdym wierszu liczby czytane z lewa do prawej tworzą ciąg rosnący. Zamienia się porządek liczb o poszczególnych kolumnach tak, aby liczby czytane z góry na dół w każdej kolumnie tworzyły ciąg rosnący. Udowodnić, że po tej zamianie liczby we wszystkich wierszach nadal tworzą ciągi rosnące.
mom 87 r. zadanie N
27. Ile jest różnych zbiorów złożonych z \(\displaystyle{ n-3}\) przekątnych \(\displaystyle{ n}\) kąta wypukłego, takich że żadne dwie z nich nie przecinają się wewnątrz \(\displaystyle{ n}\) kąta i żadna trójka z nich nie jest trójkątem ?
28. Dane są liczby \(\displaystyle{ c_j}\) dla \(\displaystyle{ j=1,,…,n}\) oraz \(\displaystyle{ n>2}\) takie, że \(\displaystyle{ (n-1)(c_1^2 +...+ c_n^2) = (c_1 +...+ c_n)^2}\)
Dowieść, że albo wszystkie one są nieujemne albo wszystkie są niedodatnie.
om77
29. Zbiór liczb całkowitych nieujemnych został rozdzielony na trzy podzbiory:
\(\displaystyle{ A= \{ 0, 3, 6, 8, 9, … \}}\) , \(\displaystyle{ B= \{ 1, 4, 7, 11, 14, … \}}\), \(\displaystyle{ C= \{ 2, 5, 10, 13, …. \}}\)
Wyjaśnić konstrukcję tych zbiorów
30. rozwiązane przez Msciwoja
Każde dwa z trzech okręgów o promieniach \(\displaystyle{ 1, 2, 3}\) są styczne zewnętrznie. Oblicz długość promienia okręgu przechodzącego przez punkty styczności tych okręgów.

31. rozwiązane przez Kaf
Rozwiązać układ równań:
x \(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x^2+2xy+3y^2}{3x^2+ 2xy +y^2}+\frac{3x^2+ 2xy+y^2}{x^2+ 2xy+3y^2}=2\\3x - 2y =1 \end{cases}}\)
KöMaL
32. Dowieść, że jeżeli w wielościan wypukły można wpisać kulę i każdą jego ścianę pomalować na jeden z dwóch kolorów tak, że każde dwie ściany mające wspólną krawędź są różnych kolorów, to suma pól ścian jednego koloru jest równa sumie pól ścian innego koloru
33. rozwiązane przez yorgina
Czy istnieją trzy różne liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y, z}\) takie że:
1) \(\displaystyle{ x^{y^z}=z^{y^x}}\)
2) \(\displaystyle{ x^{y^x}=y^{x^y}}\)
3) \(\displaystyle{ (x+y)^{z}=y x^z =x y^z}\)
?
Uwaga: 1) 2) 3) są oddzielnymi zadaniami

[Kaf]

31.

Ukryta treść:    

Podstawiając \(\displaystyle{ t=\frac{x^2+2xy+3y^2}{3x^2+ 2xy +y^2}}\) pierwsze równanie przyjmuje postać \(\displaystyle{ t+t^{-1}=2}\), z czego wynika, że \(\displaystyle{ t=1}\), więc\(\displaystyle{ x^2+2xy+3y^2=3x^2+ 2xy +y^2}\), zatem \(\displaystyle{ |x|=|y|}\), więc \(\displaystyle{ (x, y)=(1,1)}\) lub \(\displaystyle{ (x, y)=\left(\frac{1}{5},-\frac{1}{5} \right)}\)

[Hydra147]

7.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a=2n+1}\), \(\displaystyle{ b=2n-1}\)

24.

Ukryta treść:    

Sprowadzając przedział do wspólnego mianownika jakim jest \(\displaystyle{ 3 \cdot 5 \cdot 7^2 \cdot 59}\) liczniki końców przedziałów wynoszą odpowiednio \(\displaystyle{ 8319}\) i \(\displaystyle{ 8330}\). Spośród wszystkich liczb z tego przedziału żadna nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 59}\), przez \(\displaystyle{ 7}\) tylko \(\displaystyle{ 8323}\), przez \(\displaystyle{ 5}\) \(\displaystyle{ 8320}\) oraz \(\displaystyle{ 8325}\). Spośród wszystkich tych liczb tylko \(\displaystyle{ 8325}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), a zatem "over all" jest podzielna przez \(\displaystyle{ 15}\), zatem to ona jest poszukiwaną liczbą (\(\displaystyle{ \frac{8325}{3 \cdot 5 \cdot 7^2 \cdot 59}= \frac{555}{2891}}\)).

-- 5 sie 2014, o 22:14 --

18.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ F_{2n-1}=F_{2n-2}+F_{2n-3}=2F_{2n-3}+F_{2n-4}=3F_{2n-3}+F_{2n-4}-(F_{2n-4}+F_{2n-5})=F_{2n-3}-F_{2n-5}}\) czyli rekurencja się zgadza. Dwa pierwsze wyrazy również czyli istotnie ciągi te są równe.

13.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a_{3k+2}= a_{2(3k+2)}= a_{3(2k+1)+1}=1}\) co dopełnia definicję ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\), która jednoznacznie mówi, że jest on okresowy.

30.

Ukryta treść:    

Trójkąt o wierzchołkach w tych punktach ma boki długości \(\displaystyle{ 3,4,5}\), a zatem promień okręgu na nim opisanego ma długość \(\displaystyle{ 2,5}\).

23.

Ukryta treść:    

Załóżmy, że taki element \(\displaystyle{ x}\) nie istnieje. Wówczas dla każdego \(\displaystyle{ x}\) istnieją takie \(\displaystyle{ i \neq j}\), że \(\displaystyle{ A_{i}= A_{j} \cup \left\{ x\right\}}\). Możemy zatem nasze podzbiory ułożyć w ciąg \(\displaystyle{ B_{1} \rightarrow B_{2} \rightarrow ... \rightarrow B_{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ (B_{n})}\) jest permutacją \(\displaystyle{ (A_{n})}\), a strzałka reprezentuje dodanie do zbioru \(\displaystyle{ B_{i}}\) elementu zbioru \(\displaystyle{ X}\). Mamy \(\displaystyle{ n}\) elementów, a tylko \(\displaystyle{ n-1}\) strzałek- sprzeczność.

-- 5 sie 2014, o 22:58 --Co do 20. to chyba nie za bardzo rozumiem. Przecież takich rozkładów jest nieskończenie wiele:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}= \sum_{k=1}^{2^{n-1}} \frac{1}{2^n}}\).

[yorgin]

9:    

Tożsamość

\(\displaystyle{ r^3+s^3=(r+s)^3-3rs(r+s)}\)

oraz wzory Viete'a łatwo wnioskują, że

\(\displaystyle{ r^3+s^3=a^3+d^3+3abc+3bcd}\)

Jeszcze łatwiej pokazać, że

\(\displaystyle{ r^3s^3=(rs)^3=(ad-bc)^3}\)

9 - metody algebry liniowej:    

Rozwiązanie bardziej złożone od poprzedniego, ale skoro już je wymyśliłem...

Wielomian \(\displaystyle{ x^2-(a+d)x+(ad-bc)}\) jest wielomianem charakterystycznym macierzy

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} a& b\\ c&d\end{bmatrix}}\)

której wartościami własnymi są oczywiście \(\displaystyle{ r}\) oraz \(\displaystyle{ s}\). Wiadomo, że \(\displaystyle{ r^3}\) oraz \(\displaystyle{ s^3}\) to wartości własne macierzy \(\displaystyle{ A^3}\), ale

\(\displaystyle{ A^3=\begin{bmatrix}a^3+2abc+bcd &\ldots \\ \ldots & d^3+2bcd+abc \end{bmatrix}}\)

(co w kropkach nie ma znaczenia).

Teraz wielomian charakterystyczny macierzy \(\displaystyle{ A^3}\) to

\(\displaystyle{ x^2-\mbox{tr} A^3+(\det A)^3}\),

o pierwiastkach \(\displaystyle{ r^3, s^3}\),

ale,

\(\displaystyle{ \det A^3=(\det A)^3=(ad-bc)^3}\)

\(\displaystyle{ \mbox{tr} A^3=a^3+d^3+3(abc+bcd)}\)

co kończy długi, ale ciekawy dowód

18:    

Kolejne niestandardowe i skomplikowane rozwiązanie...

Liczby Fibonacciego opisuje rekurencja

\(\displaystyle{ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n}\)

której rozwiązanie ogólne to

\(\displaystyle{ F_n=A(1-\phi)^n+B\phi^n}\)

gdzie \(\displaystyle{ \phi}\) jest złotą liczbą.

Łatwo się przekonać, że rozwiązaniem rekurencji

\(\displaystyle{ u_{n+2}=3u_{n+1}-u_n}\)

jest

\(\displaystyle{ u_n=C(1-\phi)^{2n}+D\phi^{2n}}\)

oraz, że

\(\displaystyle{ C=A(1-\phi)^{-1}, D=B\phi^{-1}}\)

czyli

\(\displaystyle{ u_n=F_{2n-1}}\)

[Ponewor]

Co do 20. to chyba nie za bardzo rozumiem. Przecież takich rozkładów jest nieskończenie wiele:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}= \sum_{k=1}^{2^{n-1}} \frac{1}{2^n}}\).

Jako suma trzech

[Hydra147]

No tak, trzeba w końcu nauczyć się czytać .-- 6 sie 2014, o 11:33 --Co do 29. to czy nie chodzi o coś takiego?

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ A}\) to zbiór liczb składających się wyłącznie z cyfr "zaokrąglonych", \(\displaystyle{ B}\) z cyfr "prostych", a \(\displaystyle{ C}\) zawiera i takie i takie?

[Msciwoj]

30. Każde dwa z trzech okręgów o promieniach \(\displaystyle{ 1, 2, 3}\) są styczne zewnętrznie. Oblicz długość promienia okręgu przechodzącego przez punkty styczności tych okręgów.

No tak, trzeba w końcu nauczyć się czytać .

Chodziło o inny okrąg. Ten, o którym napisałeś, przechodzi przez środki tych okręgów.

30.:    

Weźmy trójkąt o wierzchołkach w środkach tych okręgów. Ma on boki długości \(\displaystyle{ 3,4,5}\), a więc jest prostokątny o kącie prostym w środku najmniejszego okręgu. Ponieważ jego boki składają się każdy z dwóch części będących promieniami odpowiednich okręgów, a promienie tego samego okręgu zwykle są równe, to punkty styczności tych trzech okręgów wyznaczają również punkty styczności okręgu wpisanego w ten trójkąt do jego boków. Krótko mówiąc, szukany okrąg to okrąg wpisany w trójkąt o wierzchołkach w środkach tych okręgów. Ponieważ ten trójkąt jest prostokątny, to czworokąt o wierzchołkach środek małego okręgu - dwa punkty styczności do małego okręgu - środek okręgu wpisanego ma trzy kąty proste i dwa sąsiednie boki równe, a zatem jest kwadratem. Co oznacza, że promień okręgu wpisanego jest równy promieniowi małego okręgu, czyli \(\displaystyle{ 1}\)

[mortan517]

16:    

\(\displaystyle{ x^3 + \left( \frac{x}{2x-1}\right) ^3 = \frac{3^5}{2^6}}\)

Na początku stosujemy podstawienie \(\displaystyle{ y=2x-1 \Rightarrow x= \frac{y+1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{y+1}{2}\right)^3 + \left( \frac{y+1}{2y}\right)^3 = \frac{3^5}{2^6}
\\
(y+1)^3 + \left( \frac{y+1}{y} \right)^3 = \frac{3^5}{2^3}
\\
y^3+3y^2+3y+1+1+ \frac{3}{y} + \frac{3}{y^2} + \frac{1}{y^3} = \frac{3^5}{8}
\\
\left( y^3 + 3y + \frac{3}{y}+ \frac{1}{y^3}\right) +3 \left(y^2 + 2 + \frac{1}{y^2}\right) -4=\frac{3^5}{8}
\\
\left(y + \frac{1}{y} \right)^3 +3 \left(y + \frac{1}{y} \right)^2 = \frac{275}{8}}\)

Wprowadzamy kolejną zmienną: \(\displaystyle{ t=y+\frac{1}{y}}\)

\(\displaystyle{ t^3 + 3 t^2 - \frac{275}{8}=0}\)

Teraz sprowadzamy to równanie do postaci kanonicznej kolejnym podstawieniem: \(\displaystyle{ t=p-1}\)

\(\displaystyle{ (p-1)^3 + 3(p-1)^2 - \frac{275}{8} = p^3-3p - \frac{259}{8}}\)

Rozwiązujemy równanie trzeciego stopnia, gdzie \(\displaystyle{ p=a+b}\)

\(\displaystyle{ p^3-3abp - (a^3+b^3)=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} ab=1 \\ a^3+b^3=\frac{259}{8} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a^3 b^3=1 \\ a^3+b^3=\frac{259}{8} \end{cases}}\)

Rozwiązujemy równanie pomocnicze, którego pierwiastkami są \(\displaystyle{ a^3}\) oraz \(\displaystyle{ b^3}\)

\(\displaystyle{ c^2-\frac{259}{8}c + 1=0
\\
\sqrt[3]{c_1}= \frac{7 + \sqrt{33}}{4} \ \ \sqrt[3]{c_2} = \frac{7 - \sqrt{33}}{4}}\)

\(\displaystyle{ p_1=\sqrt[3]{c_1}+\sqrt[3]{c_2}=a+b= \frac{7}{2}}\)

Szukamy teraz pozostałych rozwiązań i wnioskujemy, że:

\(\displaystyle{ p_2=a \epsilon + b \epsilon^2=\frac{-7+3 \sqrt{11}i}{4} \\ p_3=a \epsilon^2 + b \epsilon= \frac{-7-3 \sqrt{11}i}{4}}\)

gdzie \(\displaystyle{ \epsilon= \frac{-1+ \sqrt{3}i}{2}}\)

Wracamy z podstawieniami:
\(\displaystyle{ t_1=p_1 - 1= \frac{7}{2}-1= \frac{5}{2}\\
t_2=p_2 - 1= \frac{-7+3 \sqrt{11}i}{4} - 1 = \frac{-11+3 \sqrt{11}i}{4}\\
t_3=p_3 - 1= \frac{-7-3 \sqrt{11}i}{4} - 1 = \frac{-11-3 \sqrt{11}i}{4}}\)

Kolejne wartości do obliczenia to \(\displaystyle{ y}\)

\(\displaystyle{ t=y+\frac{1}{y} \Rightarrow y^2 - ty + 1 = 0 \\ y_{1,2}= \frac{t \pm \sqrt{t^2-4}}{2}}\)

Podstawiamy kolejno wartości \(\displaystyle{ t}\) otrzymując \(\displaystyle{ 6}\) liczb.

\(\displaystyle{ y_1=2
\\
y_2= \frac{1}{2}
\\
y_3= \frac{1}{8} \left( -11+3 i \sqrt{11}+\sqrt{6 \left( -7-11 i \sqrt{11}\right)}\right)
\\
y_4= \frac{1}{8} i \left( 11 i+3 \sqrt{11}+i \sqrt{6 \left( -7-11 i \sqrt{11}\right)}\right)
\\
y_5= \frac{1}{8} \left( -11-3 i \sqrt{11}+\sqrt{6 \left( -7+11 i \sqrt{11}\right)}\right)
\\
y_6= -\frac{1}{8} i \left( -11 i+3 \sqrt{11}-i \sqrt{6 \left( -7+11 i \sqrt{11}\right)}\right)}\)

Teraz wracamy do ostatniego już podstawienia, a mianowicie \(\displaystyle{ x= \frac{y+1}{2}}\)

\(\displaystyle{ x_1= \frac{3}{2}
\\
x_2= \frac{3}{4}
\\
x_3= \frac{1}{16} \left( -3+3 i \sqrt{11}+ \sqrt{-42-66 i \sqrt{11}}\right)
\\
x_4 = \frac{1}{16} \left( -3+3 i \sqrt{11}- \sqrt{-42-66 i \sqrt{11}}\right)
\\
x_5 = \frac{1}{16} \left( -3-3 i \sqrt{11}+ \sqrt{-42+66 i \sqrt{11}}\right)
\\
x_6 = \frac{1}{16} \left( -3-3 i \sqrt{11}- \sqrt{-42+66 i \sqrt{11}}\right)}\)

Są to ostateczne i wszystkie rozwiązania podanego równania. Zgodnie z zasadniczym twierdzeniem algebry równanie szóstego stopnia ma \(\displaystyle{ 6}\) pierwiastków zespolonych.

Zapewne jest szybszy sposób, ale teraz go nie widzę.

[Marcinek665]

17:    

Zauważamy, że
\(\displaystyle{ (a^2+ab+b^2)(x^2+xy+y^2) = (ax+bx+ay)^2 + (ax+bx+ay)(by-ax) + (by-ax)^2}\)

[timon92]

11 pierwsza część:    

\(\displaystyle{ |x|>|y-z+t|>|y|+|z|+|t|>|x-z+t|+|x-y+t|+|x-y+z|>|(x-z+t)-(x-y+t)+(x-y+z)|=|x| \text{, sprzeczność}}\)

[yorgin]

21:    

Nie wiem, czy to najprostrza metoda...

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie tym \(\displaystyle{ n}\)-elementowym zbiorem.

Niech \(\displaystyle{ A=\{f: f\ \mbox{spełnia warunki zadania}\}}\)

Krok 1. Istnieje \(\displaystyle{ x\in X}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x)=x}\).

Dowód: Nie wprost. Niech \(\displaystyle{ f^{n-1}\equiv a}\). Wtedy \(\displaystyle{ f(a)\neq a}\). Z załozenia

\(\displaystyle{ f^{n-1}(a)=a}\)

ale

\(\displaystyle{ a\neq f(a)=f(f^{n-1}(a))=f^{n-1}(f(a))}\)

Sprzeczność.

Krok 2. \(\displaystyle{ |f(X)|=|X|-1}\)

Rozumowanie od końca. Niech \(\displaystyle{ f^{n-1}\equiv c}\) i \(\displaystyle{ c}\) jest punktem stałym. Wtedy oczywiście \(\displaystyle{ |f^{-1}(c)|\geq 2}\). Oznaczmy \(\displaystyle{ f^{-1}(c)=\{c,\mbox{reszta}\}}\). Wtedy

\(\displaystyle{ f^{-1}(f^{-1}(c))=f^{-1}(\{b,\mbox{resta}\})\cup \mbox{przeciwobraz reszty}}\)

oraz

\(\displaystyle{ |f^{-1}(c)|\geq 2\qquad |\mbox{przeciwobraz reszty}|\geq 1}\)

czyli

\(\displaystyle{ |f^{-2}(c)|\geq 2+1=3}\)

Rozumując analogicznie indukcyjnie dowodzimy, że każdy krok zwiększa przeciwobraz o co najmniej jeden element, a w ostateczności

\(\displaystyle{ |f^{-n+1}(c)|\geq n \Rightarrow |f^{-n+1}(c)|=n}\)

a stąd wszystkie nierówności stają się równowaściami. W szczególności

\(\displaystyle{ |f(X)|=|X|-1}\).

Krok 3. \(\displaystyle{ |A|=n!}\).

Niech \(\displaystyle{ X=\{a_i\}_{i=1,\ldots n}}\) oraz oczywiście \(\displaystyle{ i\neq j \Rightarrow a_i\neq a_j}\).

• Wybieramy punkt stały na \(\displaystyle{ n}\) sposobów. Niech będzie (z dokładnością do permutacji elementów) to \(\displaystyle{ a_1=f(a_1)}\).
• Dobieramy \(\displaystyle{ a_2}\) takie, że \(\displaystyle{ f(a_2)=a_1}\) (wniosek z kroku 2.) na \(\displaystyle{ n-1}\) sposobów.
• Dobieramy \(\displaystyle{ a_3}\) takie, że \(\displaystyle{ f(a_3)=a_2}\) na \(\displaystyle{ n-2}\) sposoby.
• Itd.
• Dobieramy \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) takie, że \(\displaystyle{ f(a_{n-1})=a_{n-2}}\) na \(\displaystyle{ 2}\) sposoby.
• Pozostaje \(\displaystyle{ a_n}\) takie, że \(\displaystyle{ f(a_n)=a_{n-1}}\).

Zliczamy: \(\displaystyle{ n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \ldots \cdot 2\cdot 1=n!}\)

[Ponewor]

12.:    

Z założenia wnosimy, że \(\displaystyle{ a^{2} \equiv 2^{-1} \pmod{p}}\)
Rozważmy wszystkie liczby postaci \(\displaystyle{ ax+y}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) bierzemy z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 0 , \ \left[ \sqrt{p}\right] \right\rangle}\) , oczywiście takich liczb jest więcej niż \(\displaystyle{ p}\), czyli pewne dwie dają te same reszty w dzieleniu przez \(\displaystyle{ p}\). Zatem \(\displaystyle{ ax+y \equiv ap+q \pmod{p}}\) dla pewnych całkowitych \(\displaystyle{ x, \ y, \ p, \ q}\). Otóż wówczas \(\displaystyle{ a\left(x-p\right) \equiv q-y \pmod{p}}\). Oznaczmy \(\displaystyle{ b=q-y}\) i \(\displaystyle{ c=x-p}\), wtedy \(\displaystyle{ ac \equiv b \pmod{p}}\) i po podniesieniu do kwadratu \(\displaystyle{ a^{2}c^{2} \equiv b^{2} \pmod{p}}\), co wykorzystaniu założenia daje \(\displaystyle{ 2^{-1}c^{2} \equiv b^{2} \pmod{p}}\), dalej \(\displaystyle{ 2b^{2} \equiv c^{2} \pmod{p}}\) i w końcu \(\displaystyle{ p \mid 2b^{2}-c^{2}}\).

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \left| b\right|}\) i \(\displaystyle{ \left| c\right|}\) również należą do przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 0 , \ \left[ \sqrt{p}\right] \right\rangle}\), co oznacza, że \(\displaystyle{ 0 \le b^{2} < p}\) i te same nierówności dotyczą \(\displaystyle{ c^{2}}\). Jak więc nietrudno zauważyć \(\displaystyle{ -p < 2b^{2}-c^{2} < 2p}\), a zatem \(\displaystyle{ 2b^{2}-c^{2}=0}\) lub \(\displaystyle{ 2b^{2}-c^{2}=p}\). Jeśli zachodzi pierwsza możliwość, to mając w pamięci niewymierność \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) wnioskujemy \(\displaystyle{ b=c=0}\). Jednak wówczas \(\displaystyle{ x=p}\) i \(\displaystyle{ y=q}\), a pary \(\displaystyle{ \left(x, \ y\right)}\) i \(\displaystyle{ \left( p , \ q\right)}\) miały być różne. A zatem \(\displaystyle{ 2b^{2}-c^{2}=p}\), co kończy dowód.

[Kartezjusz]

Zadanie 8

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ x^{2}+kxy+y^{2}=(x+ \frac{k}{2} )^{2}+y^{2}- \frac{3k^{2}}{4}}\)
Zauważmy, że najmniejsza wartość przyjmowana jest dla pary \(\displaystyle{ \left( \left[ - \frac{k}{2} \right] ,0 \right)}\). Jest równa co najmniej \(\displaystyle{ - \frac{3k^{2}}{4}}\)

[mol_ksiazkowy]

Zadanie 8

Ukryta treść:

Ukryta treść:    

a gdzie jest \(\displaystyle{ kxy}\) ?

[Kartezjusz]

Ukryta treść:    

Zadanie 8

Ukryta treść:

Ukryta treść:    

a gdzie jest \(\displaystyle{ kxy}\) ?

Zwinięte ze wzoru skróconego mnożenia.