[MIX] Zadania różne XIII

[mol_ksiazkowy]

1. rozwiązane przez Alayne
Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+ xy+xyz=12 \\ y+ yz+yzx=21 \\ z+ zx+ zxy =30 \end{cases}}\)
AMATYC
2. rozwiązane przez Alayne
Niech \(\displaystyle{ x, y, z >1}\) oraz
\(\displaystyle{ \begin{cases} xy^2 - y^2+ 4xy+4x - 4y=4004 \\ xz^2 - z^2 +6xz +9x - 6z=1009 \end{cases}}\)
Ile może być równe \(\displaystyle{ xyz +3xy+2xz -yz +6x-3y-2z}\) ?
3. rozwiązane przez Qnia
Rozwiązać równanie diofantyczne \(\displaystyle{ a^{b^2}= b^a}\)
4. rozwiązane przez kicaja
Udowodnić że jeśli \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3, ...}\) jest \(\displaystyle{ n}\)-tym wierszem w trójkącie Pascala, to \(\displaystyle{ tg(nx) = \frac{a_2tg(x) - a_4tg^3(x)+...}{a_1 - a_3tg^2(x) + a_5tg^4(x) - ....}}\)
np. \(\displaystyle{ tg(4x) = \frac{4tg(x) - 4tg^3(x)}{1 - 6tg^2(x)+ tg^4(x)}}\) etc.
5. Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie ustaloną liczbą naturalną. Dla jakich \(\displaystyle{ f}\)
\(\displaystyle{ {n \choose 0} f(x) + {n \choose 1} f(x^2)+ {n \choose 2} f(x^4) +…+ {n \choose n} f(x^{2^n}) =0}\) ?
6. rozwiązane przez Qnia
Czy istnieją cztery różne liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3, x_4}\) i takie że gdy \(\displaystyle{ i \neq j}\) to dla \(\displaystyle{ x=x_i}\), \(\displaystyle{ y=x_j}\) będzie
\(\displaystyle{ x^4 + x^3y + x^2y^2 +xy^3 +y^4 =1}\) ?
Australia
7. rozwiązane przez marcin7Cd
Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ x^x = \frac{3}{4}\sqrt{6}}\)
8. rozwiązane przez marcin7Cd
Niech \(\displaystyle{ f: R \backslash \{0 \} \mapsto R}\):
a) \(\displaystyle{ f(x) - f(y)=f(x) f(\frac{1}{y}) - f(y) f(\frac{1}{x})}\) dla \(\displaystyle{ x, y \neq 0}\)
b) Istnieje \(\displaystyle{ x \in R \backslash \{0 \}}\): \(\displaystyle{ f (x)= \frac{1}{2}}\)
Ile to jest \(\displaystyle{ f(-1)}\) ?
9. Udowodnić, że dla \(\displaystyle{ n \geq 3}\) istnieje permutacja \(\displaystyle{ (a_1, ..., a_n)}\) elementów ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, ..., n \}}\) taka, że \(\displaystyle{ |a_k - k| = |a_1 -1| \neq 0}\) dla \(\displaystyle{ k=2, 3, ..., n}\) tylko gdy \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste
10. rozwiązane przez kicaja
Niech \(\displaystyle{ f : R \mapsto R}\) będzie funkcją ciągłą, taką że \(\displaystyle{ f(2x^2-1)=2x f(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ f (x)=0}\) dla \(\displaystyle{ -1 \leq x \leq 1}\).

11. rozwiązane przez Qnia
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k(n-k)} = \frac{2}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}}\) gdy \(\displaystyle{ n>1}\)
12. Udowodnić, że wyznacznik macierzy zero-jedynkowej, w której we wszystkich wierszach jedynki nie są rozdzielone zerami, jest równy \(\displaystyle{ \pm 1}\) lub \(\displaystyle{ 0}\)
np. w macierzy (ale kolumny nie są takie):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&1&1&1\\1&1&0&0\\0&1&1&0\\ 1&1&1&1 \end{array}\right]}\)
13. rozwiązane przez kicaja
Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ tg^2(1^{o}) + tg^2(3^{o}) + tg^2(5^{o}) +....+ tg^2(89^{o})}\) jest całkowita
14. rozwiązane przez Vaxa
Udowodnić, że nie istnieją wielomiany \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) takie, że \(\displaystyle{ 2^{f(n)} + 3^{g(n)}}\) jest podzielne przez 23 dla \(\displaystyle{ n=1, 2. 3, ...}\)
Uwagi: Na ogół dla liczb pierwszych tak nie jest; np. \(\displaystyle{ 2^{4n+1} + 3^{6n+9}}\) dzieli się przez 31, itp.
Crux
15. Liczbę naturalną \(\displaystyle{ N}\) nazywa się \(\displaystyle{ n}\) fajną, gdy:
i) \(\displaystyle{ N}\) ma co najmniej \(\displaystyle{ n}\) różnych dzielników pierwszych
ii) istnieje \(\displaystyle{ n}\) różnych dzielników liczby \(\displaystyle{ N}\): \(\displaystyle{ 1, x_2, ..., x_n}\), których suma to \(\displaystyle{ N}\).
Wykazać istnienie liczb \(\displaystyle{ n}\) fajnych dla \(\displaystyle{ n \geq 6}\)
Korea
16.
Wyznaczyć \(\displaystyle{ n}\) takie że \(\displaystyle{ 2^{2^5} = 641 \cdot (2^{4n} - ( 25 \cdot 2^{2n}+1)(5 \cdot 2^n -1) )}\)
17. Dla jakich liczb całkowitych \(\displaystyle{ m, n}\) liczby \(\displaystyle{ 3^m + 1}\) i \(\displaystyle{ 3^n + 1}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ mn}\) ?
18. rozwiązane przez Msciwoja
Niech \(\displaystyle{ f: R^3 \mapsto C}\) tj. \(\displaystyle{ f(x, y ,z)= e^{i(x+y+z)} + e^{i(x-y-z)}+ e^{i(-x+ y-z)}+ e^{i(-x-y+ z)}}\).
Wyznaczyć zbiór \(\displaystyle{ f(R^3)}\)
19. Dany \(\displaystyle{ 2n}\) kąt foremny (\(\displaystyle{ n>3}\)). Każdy jego wierzchołek pomalowano na czerwono bądź niebiesko. Udowodnić, że ilość głównych przekątnych (tj. takich do których należy środek tego wielokąta) o dwóch czerwonych końcach jest równy że ilość głównych przekątnych o dwóch niebieskich końcach.
20. a) Udowodnić, że dla każdego pomalowania dwoma kolorami kratek nieograniczonej kartki „w kratkę” istnieje trójkąt prostokątny równoramienny, którego wierzchołki są środkami kratek tego samego koloru.
b) Znaleźć też przykład takiego pokolorowania, w którym nie istnieje nieskończony zbiór prostych poziomych i nieskończony zbiór prostych pionowych, które przecinałyby się w środkach kratek tego samego koloru.

21. rozwiązane przez Zahiona
Udowodnić Tożsamość Sophie Germain
\(\displaystyle{ 4a^4+ b^4 =(a^2 + (a+b)^2)(a^2+ (a-b)^2)}\)
22. rozwiązane przez yorgina
Niech dana będzie funkcja
\(\displaystyle{ W_n ( x ) = ( (x + \sqrt{x^2-4})^n + (x - \sqrt{x^2-4})^n )}\) dla \(\displaystyle{ n = 1, 2, 3,....}\).
Udowodnić że \(\displaystyle{ W_n}\) jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ n}\) (*) oraz że \(\displaystyle{ W_n(W_m(x)) = W_m(W_n(x))}\) dla \(\displaystyle{ |x| \geq 2}\), \(\displaystyle{ m, n =1, 2, 3, ...}\)
* omijając problem dziedziny \(\displaystyle{ f}\)
23. rozwiązane przez marcin7Cd
Niech \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) będą liczbami naturalnymi. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ k^2+2kn+ m^2}\) jest kwadratem liczby całkowitej dla nieskończenie wielu liczb całkowitych \(\displaystyle{ k}\), to \(\displaystyle{ n=m}\)
24. Na spotkaniu jest \(\displaystyle{ n}\) matematyków, i każdych dwóch z nich rozmawia ze sobą w jednym z \(\displaystyle{ n}\) języków. Dla każdych trzech różnych języków istnieje trójka matematyków, która między sobą w tych językach rozmawia. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) jest to możliwym ?
Hong Kong
25. rozwiązane przez timon92
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a, b, c >0}\) to \(\displaystyle{ (a^2+2) (b^2+2) (c^2+2) \geq 9(ab+bc+ca)}\)
Excalibur
26. rozwiązane przez marcin7Cd
Udowodnić, że istnieje wielomian stopnia nie większego niż \(\displaystyle{ 2^n}\), o współczynnikach ze zbioru \(\displaystyle{ \{-1, 0, 1 \}}\) i który jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-1)^n}\)
27. rozwiązane przez marcin7Cd
27. Wykaż lub obal: Jeśli wszystkie ściany czworościanu mają równe pola to są one trójkątami przystającymi.
28. rozwiązane przez Qnia
Udowodnić że wielomian \(\displaystyle{ x^4+ 3x^3+ 6x^2 + 9x + 12}\) nie jest iloczynem dwóch trójmianów kwadratowych o współczynnikach całkowitych
29. rozwiązane przez mol_ksiazkowy
Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=c^2+d^2 \\ b= d^2+e^2 \\ c= e^2+a^2 \\ d = a^2+ b^2 \\ e=b^2+ c^2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \Delta}\)
30. rozwiązane przez marcin7Cd
Czy można rozłożyć na czynniki liniowe \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2}\), tak jak \(\displaystyle{ x^2+y^2 =( x+yi)(x-yi)}\) ?
Uwagi: nie chodzi o trywialne \(\displaystyle{ (\sqrt{x^2+y^2} + iz) (\sqrt{x^2+y^2} - iz)}\)

31. rozwiązane przez yorgina
Gra
Najpierw gracz płaci 1 zł. Potem wykonuje rzut dwoma kostkami i w zależności od wyniku \(\displaystyle{ (i,j)}\) otrzymuje wygraną \(\displaystyle{ w}\) ( w zł ):
\(\displaystyle{ \begin{cases} |i-j| =1 \ , \ w =1\\ i=j \ , \ w=i \\ |i-j| >1 \ , \ w=0 \end{cases}}\)
Reguła dodatkowa: Jeśli wynikiem jest \(\displaystyle{ (4, 3)}\) lub \(\displaystyle{ (3, 4)}\) to gracz jeszcze raz rzuca kostkami (ruch dodatkowy nie może być powtórzony ) i otrzymuje wygraną jw.
Czy ta gra jest korzystna dla gracza (jeśli będzie grał w nią stosownie dużą ilość razy) ?
32. Czy istnieje trójkąt Herona, o bokach \(\displaystyle{ x, 2x, y}\) ?
33. rozwiązane przez Vaxa
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są dowolnymi liczbami całkowitymi, to istnieje liczba całkowita \(\displaystyle{ C}\), taka że zbiory \(\displaystyle{ \{ x^2+ Ax+B : \ x \in Z \}}\) i \(\displaystyle{ \{2 x^2+ 2x+C : \ x \in Z \}}\) są rozłączne
Singapur
34. rozwiązane przez cz0rnyfj
Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ x^{81}+ x^{49}+ x^{25}+ x^{9}+x}\) przez \(\displaystyle{ x^3-x}\)
35. Mając dane:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^b=8 \\ b^c=10 \\ a^c =2 \end{cases}}\)
obliczyć \(\displaystyle{ a^a, b^b, c^c}\)
36. rozwiązane przez kicaja
Udowodnić istnienia jednej jedynej \(\displaystyle{ f: R_{+} \mapsto R_{+}}\) że
\(\displaystyle{ f(f(x)) = 6x - f(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \in R_{+}}\)
Uwagi: \(\displaystyle{ x \in R_{+}}\) to zbiór liczb rzeczywistych dodatnich
37. rozwiązane przez marcin7Cd
Rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ \sqrt{3-x} + \sqrt{x-1} =2\sqrt{2} + (x-y)^2}\)
38. Wyznaczyc wszystkie injekcje \(\displaystyle{ f:R \mapsto R}\):
\(\displaystyle{ f(\frac{x+y}{x-y}) = \frac{f(x)+ f(y)}{f(x)- f(y)}}\)
o ile \(\displaystyle{ x \neq y}\)
39. rozwiązane przez bakala12
Ile możliwie najmniej posunięć może toczyć się partia szachowa, w której białe wykonują ruchy tylko królem (oprócz pierwszego ruchu), i w której czarne wygrywają ? Wskazać przykłady tego typu partii.
JRM

[Zahion]

21:    

\(\displaystyle{ 4a^{4}+b^{4}=left( 2a^{2}+b^{2}
ight)^{2}-4a^{2}b^[2}=left( 2a^{2}+b^{2}-2ab
ight)left( 2a^{2}+b^{2}+2ab
ight)=left(left( a-b
ight)^{2} +a^{2}
ight)left( left( a+b
ight)^{2}+b^{2}
ight)}\)

[Qń]

11:    

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k(n-k)} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac 1n \cdot \left( \frac 1k + \frac{1}{n-k}\right) =\frac 1n \left( \sum_{k=1}^{n-1}\frac 1k +\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{n-k}\right) = \frac{2}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}}\)

Q.

[cz0rnyfj]

34

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ P(x) = x^{3} - x = x(x+1)(x-1)}\)
zatem \(\displaystyle{ W(x)}\) ma równoważną postać: \(\displaystyle{ W(x)=x(x-1)(x+1)Q(x) + ax^{2} + bx + c}\)
gdzie \(\displaystyle{ R(x)=ax^{2} + bx + c}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} W(0)=0\\W(1)=5\\W(-1)=(-5) \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} c=0\\a+b+c=5\\a-b+c=(-5) \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} c=0\\a=0\\b=5 \end{array} \Rightarrow R(x) = 5x}\)

[Qń]

3:    

To piąte zadanie z IMO 1997 - rozwiązanie na przykład

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.olympiaadid.ut.ee/html/imo/imo97_so.html

.

Q.

[marcin7Cd]

23)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ k^2+2kn+m^2=(k+n)^2+m^2-n^2}\)
gdyby \(\displaystyle{ m>n}\) ,to wtedy z uwagi na to, że wyrażenie jest kwadratem mam \(\displaystyle{ (k+n)^2+m^2-n^2 \ge (k+n+1)^2=(k+n)^2+2(k+n)+1 \Leftrightarrow m^2-n^2 \ge 2(k+n)+1}\)
Co nie może być prawdą, bo \(\displaystyle{ k}\) może być dowolnie duże.
Gdyby \(\displaystyle{ m<n}\), to wtedy \(\displaystyle{ (k+n)^2+m^2-n^2 \le (k+m-1)^2 \Leftrightarrow m^2-n^2 \le -2(k+n)+1 \Leftrightarrow n^2-m^2 \ge 2(k+n)-1}\)
Co nie może być prawdą, bo \(\displaystyle{ k}\) może być dowolnie duże.

-- 23 kwi 2015, o 18:32 --8)

Ukryta treść:    

podstawiając \(\displaystyle{ x=\frac{1}{y}}\) otrzymuje
\(\displaystyle{ f(\frac{1}{y})-f(y)=f(\frac{1}{y})^2-f(y)^2 \Leftrightarrow (f(\frac{1}{y})-f(y))(1-f(y)-f(\frac{1}{y}))=0}\)
co daje dwa przypadki \(\displaystyle{ f(\frac{1}{y})=f(y) \ \hbox{lub} \ f(\frac{1}{y})=1-f(y)}\)
stosując pierwszą równość do założenia, otrzymuje \(\displaystyle{ f(x)=f(y)}\), czyli to jest funkcja stała. Było podane, że istnieje jakieś \(\displaystyle{ x}\), że \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2}}\), więc \(\displaystyle{ f(-1)=\frac{1}{2}}\). Korzystając z drugiej równości dla \(\displaystyle{ y=-1}\) otrzymuje \(\displaystyle{ f(-1)=\frac{1}{2}}\)
Odp:\(\displaystyle{ f(-1)=\frac{1}{2}}\)

[Qń]

28:    

Teza wynika natychmiast z kryterium Eisensteina dla \(\displaystyle{ p=3}\) (trójka dzieli wszystkie współczynniki z wyjątkiem wiodącego, a dziewiątka nie dzieli wyrazu wolnego).

Q.

[kicaj]

10:    

Zauważmy, że \(\displaystyle{ 2xf(x) =f(2x^2 -1 )=f(2 (-x)^2 -1 ) =-2xf(-x)}\) zatem \(\displaystyle{ f}\)jest funkcją nieparzystą. Niech\(\displaystyle{ M=\sup_{-1\leq t\leq 1} f(t)}\) i niech \(\displaystyle{ f(t_0 ) =M>0.}\) Jeżeli \(\displaystyle{ \frac{1}{2}<|t_0 |<1}\), to\(\displaystyle{ f(2t_0^2 -1 ) =2t_0 f(t_0 ) =-2t_0 f(-t_0 )>M.}\) Niech \(\displaystyle{ M_1 =\sup_{\frac{1}{2}<|t|<1} f(t) =\sup_{\frac{1}{2}\leq|t|\leq1} f(t)<M}\) Wówczas \(\displaystyle{ \sup_{0<t<\frac{1}{2}} f(t) =\sup_{-\infty <u<-1} f(2^u) =\sup_{-\infty <u<-1} f(2^{2u+1} -1) =\sup_{-1<t<-\frac{1}{2}} f(t)\leq M_1 <M}\) oraz \(\displaystyle{ \sup_{0>t>-\frac{1}{2}} f(t) =\sup_{-\infty <u<-1} f(-2^u) =\sup_{-\infty <u<-1} f(2^{2u+1} -1) =\sup_{-1<t<-\frac{1}{2}} f(t)\leq M_1 <M}\) Ponadto \(\displaystyle{ f(-1)=f(1)=f(0)=0}\). Sprzeczność. A zatem\(\displaystyle{ f\equiv 0}\) na \(\displaystyle{ [-1,1].}\)

[marcin7Cd]

26)

Ukryta treść:    

Rozważmy następujący ciąg wielomianów \(\displaystyle{ W_{1}(x)=x-1 \ W_{n+1}(x)=(x^{2^{n}}-1)W_{n}(x) \ \hbox{dla} \ n=1,2,3,...}\) Zauważmy, że każdy wielomian \(\displaystyle{ W_{n}(x)}\) jest stopnia \(\displaystyle{ 2^n}\), co łatwo udowadnia się to indukcją.Oznacza to, że każdy wielomian \(\displaystyle{ W_{n+1}(x)=x^{2^{n}}W_{n}(x)-W_{n}(x)}\) ma współczynniki \(\displaystyle{ 0,1,-1}\). Indukcyjnie można udowodnić, że każdy dzieli się przez \(\displaystyle{ (x-1)^n}\)

27)
Ten czworościan musi być równościenny, co została udowodnione tutaj:

Kod: Zaznacz cały

http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/geometria/stereometria/2012/03/27/pompe-delta3-1994.pdf

[Qń]

6:    

Nie.

Po pomnożeniu stronami danej równości przez \(\displaystyle{ x-y}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ x^5-y^5=x-y}\)
lub równoważnie:
\(\displaystyle{ x^5-x=y^5-y}\)

Pytanie można więc przeformułować: czy funkcja \(\displaystyle{ f(t)=t^5-t}\) może przyjąć jakąś wartość cztery razy (tzn. dla czterech różnych argumentów). I odpowiedź jest negatywna, bo \(\displaystyle{ f'(t)}\) ma tylko dwa miejsca zerowe, co oznacza, że wielomian \(\displaystyle{ f}\) ma dwa ekstrema lokalne, a zatem każda prosta pozioma przecina jego wykres w co najwyżej trzech miejscach.

Q.

[Vax]

33:    

Jeżeli \(\displaystyle{ 2\nmid A}\) to \(\displaystyle{ x^2+Ax+B \equiv x+Ax+B \equiv x(A+1)+B \equiv B\pmod{2}}\)

oraz \(\displaystyle{ 2x^2+2x+C \equiv C\pmod{2}}\), skąd wystarczy wziąć \(\displaystyle{ C \not\equiv B\pmod{2}}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ A \equiv 0\pmod{4}}\), to \(\displaystyle{ x^2+Ax+B \equiv x^2+B\pmod{4}}\), oraz \(\displaystyle{ 2x^2+2x+C \equiv C\pmod{4}}\), wystarczy więc przyjąć \(\displaystyle{ C \equiv B+3\pmod{4}}\).

Jeżeli \(\displaystyle{ A \equiv 2\pmod{4}}\), to \(\displaystyle{ x^2+Ax+B \equiv x^2+2x+B \equiv (x+1)^2+B-1 \pmod{4}}\), oraz \(\displaystyle{ 2x^2+2x+C \equiv C\pmod{4}}\), skąd wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ C \equiv B+2\pmod{4}}\)

W obu przypadkach gdzie \(\displaystyle{ 2 \mid A}\) korzystam z tego, że \(\displaystyle{ x^2 \not\equiv 3\pmod{4}}\)

14:    

Tam powinno być chyba \(\displaystyle{ 2^{f(n)} + 3^{g(n)}}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ 2^{11} \equiv 3^{11} \equiv 1\pmod{23}}\), skąd biorąc argumenty podzielne przez \(\displaystyle{ 11}\) mamy \(\displaystyle{ 23 \mid 2^x + 3^y}\) dla \(\displaystyle{ x,y}\) będącymi wyrazami wolnymi \(\displaystyle{ f, g}\). Łatwo jednak sprawdzić (wypisując wszystkie 11 możliwych reszt \(\displaystyle{ 2^i}\) oraz \(\displaystyle{ 3^i}\) modulo 23), że to niemożliwe.

[Elayne]

1:    

\(\displaystyle{ a=xyz\\
x=\frac{12}{22-a}\\
y=\frac{21}{31-a}\\
z=\frac{30}{13-a}}\)

\(\displaystyle{ 0=a^{3}-(12+21+30+2)a^{2} + (1+12+21+30+12 \cdot 21+21 \cdot 30+30 \cdot 12)a-12 \cdot 21 \cdot 30= a^{3} -65a^{2} +1306a-7560=(a-10)(a-27)(a-28)}\)
Mamy trzy rozwiązania:
\(\displaystyle{ (x,y,z)=(1,1,10),(-\frac{12}{5},\frac{21}{4},-\frac{15}{7}),(-2,7,-2)}\)

[marcin7Cd]

30)

Ukryta treść:    

Jeżeli można rozłożyć na czynniki liniowe, to jeden z czynników musi mieć postać \(\displaystyle{ mx+ny+z}\) (po wyciągnięciu pewnej stałej), gdzie \(\displaystyle{ m,n \in R}\) podstawiając \(\displaystyle{ x=0, y=1,z=-n}\) otrzymuje zero, więc \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2}\) też musi być zerem co oznacza \(\displaystyle{ n= \pm i}\). Podstawiając \(\displaystyle{ x=1,y=0,z=-m}\) i analogicznie rozumując otrzymuje \(\displaystyle{ m= \pm i}\). Jednak podstawiając \(\displaystyle{ x=1,y=1,z=-n-m}\) otrzymuje \(\displaystyle{ m+n= \pm \sqrt{2}i}\), co stoi w sprzeczności z tym , że \(\displaystyle{ m,n= \pm i}\)

[Elayne]

2:    

\(\displaystyle{ \begin{cases}
xy^2 - y^2 +4xy+4x-4y=4004 \\
xz^2 - z^2 +6xz+9x-6z=1009 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}
x(2+y)^{2} -y^{2} -4y=4004 \\
x(3+z)^{2} -z^{2} -6z=1009 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}
x= \frac{4004+y^{2} +4y}{(2+y)^{2}} \\
x= \frac{1009+z^{2} +6z}{(3+z)^{2}} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ y^{2} +4y+4=(2+y)^{2} \\
z^{2} +6z+9=(3+z)^{2}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}
x= \frac{4000}{(2+y)^{2}}+1 \\
x= \frac{1000}{(3+z)^{2}}+1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \frac{4000}{(2+y)^{2}}=\frac{1000}{(3+z)^{2}} \\
\\
\frac{(2+y)^{2}}{(3+z)^{2}}=\frac{4000}{1000} \\
\\
\frac{(2+y)^{2}}{(3+z)^{2}}=4}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ \frac{2+y}{3+z}>0}\) to mamy \(\displaystyle{ \frac{2+y}{3+z}=2}\) i \(\displaystyle{ y=2z+4}\)

\(\displaystyle{ W(xyz)= xyz+3xy+2xz-yz+6x-3y-2z=x(2+y)(3+z)-2z-y(3+z)}\)
Rozdzielmy to na dwa wyrazy
\(\displaystyle{ W(xyz)=W_{1}(xyz)+W_{2}(xyz) \\
W_{1}(xyz)=x(2+y)(3+z) \\
W_{2}(xyz)=-2z-y(3+z)}\)

Po podstawieniu \(\displaystyle{ y=2z+4}\) do \(\displaystyle{ W_{1}(xyz)}\) otrzymujemy: \(\displaystyle{ W_{1}(xyz)=2x(3+z)^{2}}\)
po podstawieniu \(\displaystyle{ x= \frac{1009+z^{2} +6z}{(3+z)^{2}}}\) mamy: \(\displaystyle{ W_{1}(xyz)=2000 + 2(3+z)^{2}}\)

Po podstawieniu \(\displaystyle{ y=2z+4}\) do \(\displaystyle{ W_{2}(xyz)}\) otrzymujemy: \(\displaystyle{ W_{1}(xyz)=6-2(3+z)^{2}}\)

\(\displaystyle{ W(xyz)=W_{1}(xyz)+W_{2}(xyz) \\
W(xyz)=(2000 + 2(3+z)^{2})+(6-2(3+z)^{2})=2006}\)

\(\displaystyle{ W(xyz)}\) ma stałą wartość: \(\displaystyle{ 2006}\)

[timon92]

25 klasyk:    

wśród liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) muszą istnieć dwie, które jednocześnie są nie większe od 1 lub nie mniejsze od 1, powiedzmy że są to \(\displaystyle{ a,b}\)

wówczas \(\displaystyle{ (a^2+2)(b^2+2)\ge 3(a^2+b^2+1)}\), bo po otworzeniu nawiasów i zwinięciu dostajemy równoważnie \(\displaystyle{ (a^2-1)(b^2-1)\ge 0}\)

z nierówności Schwarza \(\displaystyle{ (a^2+b^2+1)(1+1+c^2) \ge (a+b+c)^2}\)

poza tym oczywiście \(\displaystyle{ (a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca)}\)

po sklejeniu wszystkiego do kupy mamy \(\displaystyle{ (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \ge 3(a^2+b^2+1)(c^2+2) \ge 3(a+b+c)^2 \ge 9(ab+bc+ca)}\)