\(\displaystyle{ s^6-(abc)^2=\frac{1}{18}(a^2(s^2+2bc)(b-c)^2 + b^2(s^2+2ac)(a-c)^2 +c^2(s^2+2ab)(a-b)^2)}\)
dla \(\displaystyle{ ab+bc+ca=3s^2}\)
czemu..?
[Równania] perfidna tozsamosc
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13376
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3425 razy
- Pomógł: 809 razy
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2692
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 664 razy
[Równania] perfidna tozsamosc
No cóż, ktoś chyba musi się tym zająć . Pomnóżmy obie strony przez 54 i niech lewa strona to L, a prawa to P, wówczas:
\(\displaystyle{ P=\sum_{cyc}(a^2(3s^2+6bc)(b-c)^2=\sum_{cyc}(a^2(b^2-2bc+c^2)(ab+7bc+ca)= \\ =\sum_{cyc} (a^3b^3+a^3c^3+7a^2b^3c+7a^2bc^3-14(abc)^2-a^3b^2c-a^3bc^2)= \\ = 2 ( (a^3b^3 + b^3c^3 + c^3a^3) + 3(a^3b^2c +a^3bc^2 \\ +a^2b^3c +a^2bc^3 +ab^3c^2 +ab^2c^3) +6(abc)^2 ) -54(abc)^2= \\ =2((ab+bc+ca)^3)-54(abc)^2=2s^6-54(abc)^2=L}\)
\(\displaystyle{ P=\sum_{cyc}(a^2(3s^2+6bc)(b-c)^2=\sum_{cyc}(a^2(b^2-2bc+c^2)(ab+7bc+ca)= \\ =\sum_{cyc} (a^3b^3+a^3c^3+7a^2b^3c+7a^2bc^3-14(abc)^2-a^3b^2c-a^3bc^2)= \\ = 2 ( (a^3b^3 + b^3c^3 + c^3a^3) + 3(a^3b^2c +a^3bc^2 \\ +a^2b^3c +a^2bc^3 +ab^3c^2 +ab^2c^3) +6(abc)^2 ) -54(abc)^2= \\ =2((ab+bc+ca)^3)-54(abc)^2=2s^6-54(abc)^2=L}\)