Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Zadanie jest ze \(\displaystyle{ 101}\) Nierozwiązanych
Ukryta treść:
Niech \(\displaystyle{ d=NWD(l, m, n)}\) będzie największym wspólnym dzielnikiem liczb \(\displaystyle{ l, m, n}\)
tj. \(\displaystyle{ \begin{cases} l=dl_1\\m=dm_1\\n = dn_1\end{cases}}\)
a więc: \(\displaystyle{ m + n = d (m_1 + n_1) = (d d_{m n}) ^2}\)
gdzie \(\displaystyle{ \begin{cases} d_{m n}=NWD(m_1, n_1)\\d_{m l}= NWD(m_1, l_1) \\ d_{n l} = NWD(n_1, l_1)\end{cases}}\)
czyli \(\displaystyle{ m_1 + n_1 = d d_{m n}^2}\)
i wreszcie: \(\displaystyle{ 2(l_1 + m_1 +n_1) =d(d_{l m}^2 + d_{l n}^2 + d_{m n}^2)}\)
tj. \(\displaystyle{ D =\frac{d}{NWD(d, 2)}}\) (liczba ta jest równa \(\displaystyle{ d}\) gdy \(\displaystyle{ d}\) jest nieparzysta oraz \(\displaystyle{ \frac{d}{2}}\) gdy \(\displaystyle{ d}\) jest parzysta). \(\displaystyle{ D}\) dzieli liczby: \(\displaystyle{ m_1 +n_1, \ l_1 +m_1 +n_1, \ m_1 +l_1}\)
a więc dzieli liczby \(\displaystyle{ l_1, m_1, n_1}\). Ale one są względnie pierwsze
stąd \(\displaystyle{ D=1}\) tj. \(\displaystyle{ d \leq 2}\).
Liczby \(\displaystyle{ d_{m n}, d_{l m}, d_{l n}}\) są względnie pierwsze (każde dwie ze sobą), tj. \(\displaystyle{ \begin{cases} l_1=l_2d_{l m}d_{l n}\\m_1=m_2d_{m n}d_{l m} \\ n_1 = n_2d_{l n}d_{m n}\end{cases}}\)
i: \(\displaystyle{ m_2d_{m n}d_{l m} + n_2d_{l n}d_{m n } = dd_{m n}^2}\)
czyli \(\displaystyle{ m_2d_{l m} + n_2d_{l n} = dd_{m n}}\).
Niech np. \(\displaystyle{ d_{m n} = min( d_{m n}, d_{l m}, d_{l n})}\)
Zatem \(\displaystyle{ d = 2}\) i \(\displaystyle{ m_2 =n_2= 1}\)
gdyż z (*): \(\displaystyle{ d_{l m}(m_2 - 1) + d_{l n}(n_2 - 1) = 0}\)
oraz \(\displaystyle{ d_{l m} = d_{l n}= d_{m n}}\) (z (*)), ale te liczby są parami względnie pierwsze, więc równe \(\displaystyle{ 1}\); więc \(\displaystyle{ l_1 = m_1 = n_1 =1}\), tj. \(\displaystyle{ l =m= n}\)
Czyli \(\displaystyle{ l = m =n =2}\) jest jedynym rozwiązaniem tego układu.
Mozna tez uzupełnic iż zadanie znalazło sie tez (chyba omyłkowo)
w Teoria liczb (zestaw mola)
