[MIX] Zadania różne XI

[mol_ksiazkowy]

1. rozwiązane przez kerajsa
Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y + \sqrt{x+y}=2\\ \frac{x^2}{y}+ \frac{y^2}{x} = \frac{19}{xy} \end{cases}}\)
2. Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem \(\displaystyle{ n+1}\) elementowym, zaś \(\displaystyle{ A_1, ...., A_{2n+1}}\) jego różnymi podzbiorami takimi, że
jakiekolwiek \(\displaystyle{ n}\) z nich ma łącznie co najmniej \(\displaystyle{ n}\) elementów. Udowodnić, że istnieją wśród nich \(\displaystyle{ A_i, A_j, A_k}\) takie, iż \(\displaystyle{ A_i \cap A_j \neq \emptyset}\) oraz \(\displaystyle{ A_i \cap A_k \neq \emptyset}\) oraz \(\displaystyle{ A_j \cap A_k \neq \emptyset}\)
3. Liczby \(\displaystyle{ x, y}\) są takie, że \(\displaystyle{ x+ 2x^2 +…+ 7x^7 + 45x^{10}= \frac{3}{2} =y+2y^2+ … +7y^7 +8y^8+ 9y^9}\).
Która z nich jest większa ?
Singapur
4. W turnieju szachowym każdy gra z każdym jeden raz. Partię nazywa się dziwną jeśli jej wygrany miał końcowy wynik w turnieju mniejszy niż przegrany. Udowodnić, że może być co najwyżej \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\) partii dziwnych spośród wszystkich rozegranych. oraz wskazać wyniki takiego turnieju, w którym było ich właśnie tyle.
5. rozwiązane przez Qnia
Niech \(\displaystyle{ a= \underbrace{1....1}_{n}}\) oraz \(\displaystyle{ b= 1 \underbrace{0....0}_{n-1} 5}\); wykazać, że \(\displaystyle{ ab+1}\) jest kwadratem liczby całkowitej
6. rozwiązane przez Premislava
Czy istnieją \(\displaystyle{ x , y >1}\) względnie pierwsze o tej własności, że \(\displaystyle{ x^2+ 125}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ y}\) oraz \(\displaystyle{ y^2+ 125}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ x}\) ?
7. rozwiązane przez Premislava
Niech \(\displaystyle{ S = \left\{ x: x^4 - 13x^2+36 \leq 0 \right\}}\). Ile to jest \(\displaystyle{ \max _{x \in S} \ x^3 - 3x}\) ?
8. rozwiązane przez kerajsa
Dla jakich \(\displaystyle{ x \in Q}\) jest \(\displaystyle{ \sqrt{1+ 105 \cdot 2^x} \in Q}\) ?
9. rozwiązane Marcina7Cd
Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) takie, że zbiór \(\displaystyle{ \left\{ \frac{f \left( x \right) }{x} : \ x \neq 0 \right\}}\) jest skończony oraz
\(\displaystyle{ f \left( x-1-f \left( x \right) \right) = f \left( x \right) - x -1}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\)
10. rozwiązane przez Qnia
Udowodnić, że w ciągu Fibonacciego nie ma liczby nieparzystej podzielnej przez \(\displaystyle{ 17}\)

11. rozwiązane przez yorgina
Ciąg \(\displaystyle{ u_n}\) jest określony rekurencyjnie
\(\displaystyle{ \begin{cases}u_1= 1 \\ u_2=2\\ u_{n+2}= 5u_{n+1}- 6u_n \end{cases}}\).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ u_n - 2^{n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ n^n}\)
W. S
12. rozwiązane przez Qnia
Udowodnić tożsamość
\(\displaystyle{ xyz \left( x+y+z \right) ^3 - \left( xy+ yz+zx \right) ^3 = \left( x^2-yz \right) \left( y^2-xz \right) \left( z^2-xy \right)}\)
13. rozwiązane przez Zahiona
Dane są liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b, c}\) takie, że \(\displaystyle{ NWD \left( a, b, c \right) = 1}\) oraz \(\displaystyle{ b^2=ac}\) . Udowodnić, że \(\displaystyle{ a+2b+c}\) jest kwadratem liczby całkowitej
14. rozwiązane przez kerajsa
Na każdym polu szachownicy \(\displaystyle{ 7 \times 7}\) siedzi żaba. Wszystkie żaby skaczą, każda na jakieś pole sąsiadujące bokiem z tym na którym siedziała. Udowodnić, ze istnieje pole na którym będzie więcej niż jedna żaba.
15. rozwiązane Marcina7Cd
Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ i_{179}}\) jest złożona, gdzie \(\displaystyle{ i_{n}= \underbrace{1....1}_{n}}\) jest liczbą jedynkową
M
16. rozwiązane przez yorgina
Niech \(\displaystyle{ f \left( a \right) = \prod_{d|a \ d \geq 1} d}\). Czy jeśli \(\displaystyle{ f \left( m \right) =f \left( n \right)}\) to \(\displaystyle{ m= n}\) ?
17. rozwiązane przez kerajsa
Czy istnieje trójkąt, którego wierzchołki są punktami kratowymi, a długości boków liczbami nieparzystymi ?
M
18. Niech \(\displaystyle{ a, b, c \in R}\). Udowodnić, że jeśli liczby \(\displaystyle{ \frac{1+ab}{a-b}}\), \(\displaystyle{ \frac{1+bc}{b-c}}\) , \(\displaystyle{ \frac{1+ca}{c-a}}\) są całkowite, to są też względnie pierwsze
19. rozwiązane przez kicaja
Wyznaczyć wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ p}\) takie, że gdy \(\displaystyle{ xyz \neq 0}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}= \frac{1}{z}}\) to
\(\displaystyle{ \frac{1}{p \left( x \right) }+ \frac{1}{p \left( y \right) }= \frac{1}{p \left( z \right) }}\)
116 algebra problems
20. Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą. Udowodnić, że istnieje liczba pierwsza \(\displaystyle{ q}\) taka, że \(\displaystyle{ n^p - p}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ q}\) przy czym \(\displaystyle{ n}\) jest dowolną liczbą całkowitą.

21. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ x_1, ...., x_n}\) są to liczby rzeczywiste (niekoniecznie dodatnie), oraz \(\displaystyle{ n>3}\) jest liczbą nieparzystą to:
\(\displaystyle{ \left( n-1 \right) \max \left\{ x_1^2, …, x_n^2 \right\} + \left( x_1+…+ x_n \right) ^2 \geq x_1^2 + … + x_n^2}\)
22. rozwiązane przez yorgina i hydra147
Niech \(\displaystyle{ M \left( n \right) = \left\{ -1, ...., -n \right\}}\) i gdy \(\displaystyle{ A \subset M \left( n \right)}\) to \(\displaystyle{ f \left( A \right) = \prod_{j \in A} j}\). Obliczyć \(\displaystyle{ \sum_{A} f \left( A \right)}\)
23. Czy istnieje pokolorowanie 7-ma kolorami zbioru \(\displaystyle{ N}\), takie
że jeśli \(\displaystyle{ a \in N}\) to w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a, 7a \right\}}\) każda liczba ma inny kolor ?
Komäl
24. Dane jest \(\displaystyle{ n}\) punktów wewnątrz kwadratu. Punkty te łączy się ze sobą i z wierzchołkami kwadratu tak, aby odcinki jakie będą narysowane nie przecinały się. Punkty łączy się dopóty, dopóki jest to możliwe. Ile będzie odcinków ?
Uwagi: zbiór utworzony z wierzchołków kwadratu i wybranych punktów wewnętrznych nie zawiera trójek współliniowych.
M
25. rozwiązane przez Qnia
Czy można „przetransformować” \(\displaystyle{ f \left( x \right) = x^2+4x+3}\) na \(\displaystyle{ g \left( x \right) = x^2+10x+9}\) poprzez skończoną ilość operacji:
\(\displaystyle{ f \left( x \right) \mapsto x^2f \left( \frac{1}{x}+ 1 \right)}\) bądź \(\displaystyle{ f \left( x \right) \mapsto \left( x-1 \right) ^2 f \left( \frac{1}{x-1} \right)}\) ?
26. rozwiązane przez yorgina
Mając dane trzy punkty \(\displaystyle{ A, B, C}\) skonstruować kwadrat, którego środkiem jest \(\displaystyle{ A}\), zaś punkty \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) są na sąsiednich bokach tego kwadratu
27. Wykazać że trójkąt równoboczny nie może być rozłożony na pięć przystających trójkątów
28. Niech \(\displaystyle{ f : C \mapsto R}\) tj. \(\displaystyle{ f \left( z \right) = |z^3 - z +2|}\). Ile to jest \(\displaystyle{ \max _{z: \ |z|=1} \ f \left( z \right)}\) ?
29. rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Dane są liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b >1}\) względnie pierwsze i takie, że \(\displaystyle{ \frac{a^2}{2ab^2 -b^3 +1}}\) jest liczbą całkowitą nieujemną. Udowodnić, że \(\displaystyle{ a=7}\) i \(\displaystyle{ b=2}\)
30. rozwiązane przez Qnia i yorgina
Wykazać, że ilość podziałów zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1, ..., n \right\}}\) na trzy niepuste podzbiory to \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left( 3^{n-1} - 2^n +1 \right)}\)

[Premislav]

6.:    

Zaiste. Niech \(\displaystyle{ x=2,y=43}\). Wówczas oczywiście \(\displaystyle{ (x,y)=1}\) oraz \(\displaystyle{ 43 |2^{2}+125=129}\), a także \(\displaystyle{ 2|43^{2}+125}\), jako że to ostatnie to suma dwóch liczb nieparzystych, czyli liczba parzysta.

[yorgin]

11:    

Rozwiązując rekurencję ulubionym sposobem dostajemy

\(\displaystyle{ u_n=2^{n-1}}\)

a stąd

\(\displaystyle{ u_{n}-2^{n-1}=0}\),

co dzieli się przez dowolną liczbę. To \(\displaystyle{ n^n}\) raczej jest dla zmylenia przeciwnika.

16:    

Nie.

\(\displaystyle{ f(11)=f(6)}\)

\(\displaystyle{ f(14)=f(15)}\)

[kerajs]

1:    

\(\displaystyle{ (x=3 \wedge y=-2) \vee (x=-2 \wedge y=3)}\)

8:    

\(\displaystyle{ x=0 \vee x=3 \vee x=4}\)

Edit
Rozwiązanie dotyczy zadania 8, a nie 7 jak było wcześniej napisane.

[Qń]

5:    

\(\displaystyle{ ab+1 = \frac 19 \left( 10^n -1 \right) \cdot \left( 10^n + 5 \right) +1 = \frac 19 \left( \left( 10^n \right) ^2+4\cdot 10^n+4 \right) = \left( \frac{10^n+2}{3} \right) ^2}\)
Wyrażenie w nawiasie jest w oczywiście całkowite (suma cyfr liczby z licznika to trzy), więc całość istotnie jest kwadratem liczby całkowitej.

Q.

[kerajs]

14:    

Najdłuższa linia zamknięta przechodząca przez środki pól i złożona z odcinków równoległych do boku szachownicy ma długość 48. Jeśli żaby skaczą wzdłuż niej o jedno pole, to żaba z pominiętego pola musi wskoczyć na pole już zajęte.

17:    

Każdy odcinek o nieparzystej długości łączący punkty kratowe mogę traktować jako przeciwprostokątną trójkąta o bokach równoległych do osi którego jedna z przyprostokątnych jest parzysta, a druga nieparzysta (gdy odcinek jest równoległy do osi to trójkąt ma dwa równe nieparzyste boki i bok równy 0)
Trzy takie odcinki tworzące trójkąt o który chodzi w zadaniu dają trzy nieparzyste i trzy parzyste odcinki równoległe do osi liczbowych które powinny tworzyć NIEPARZYSTY obwód prostokąta o bokach równoległych do osi liczbowych opisanego na trójkącie. Ale prostokąt o naturalnych bokach ma obwód parzysty co sprawia że trójkąt z treści zadania nie istnieje.

[yorgin]

30:    

Jest dużo sposobów na rozwiązanie tego zadania.

Jeden z nich to formuła na liczby Stirlinga wykorzystująca sumę symboli Newtona:

\(\displaystyle{ \begin{aligned}\left\{\begin{array} {c}n\\ 3\end{array} \right\} &=\frac{1}{3!}\sum_{0<j<i<n}{n\choose i}{i\choose j}\\
&=\frac{1}{6}\sum_{0<i<n}{n\choose i}\sum_{0<j<i}{i\choose j}\\
&=\frac{1}{6}\sum_{0<i<n}{n\choose i}(2^i-2)\\
& =\frac{1}{6}\sum_{0<i<n}{n\choose i}2^i-\frac{1}{3}\sum_{0<i<n}{n\choose i}\\ &=\frac{1}{6}(3^n-1-2^n)-\frac{1}{3}(2^n-2)\\
& =\frac{3^{n-1}+1}{2}-2^{n-1}\end{aligned}}\)

Można również wykorzystać formułę rekurencyjną wiążącą liczby Stirlinga.

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array} {c}n\\ k\end{array} \right\} =k\left\{\begin{array} {c}n-1\\ k\end{array} \right\}+\left\{\begin{array} {c}n-1\\ k-1\end{array} \right\}.}\)

\(\displaystyle{ \begin{aligned}\left\{\begin{array} {c}n\\ 3\end{array} \right\}&=3\left\{\begin{array} {c}n-1\\ 3\end{array} \right\}+\left\{\begin{array} {c}n-1\\ 2\end{array} \right\}\\
&=3\left\{\begin{array} {c}n-1\\ 3\end{array} \right\}+ 2^{n-2}-1
\end{aligned}}\)
Schodzimy teraz z \(\displaystyle{ \left\{\begin{array} {c}n-1\\ 3\end{array} \right\}}\) według wzoru w dół. Dużo nudnego liczenia.

[Qń]

30:    

Szukamy po prostu wzoru jawnego na liczbę Stirlinga \(\displaystyle{ a_n = \left\{ \begin{matrix} n\\ 3 \end{matrix} \right\}}\). Jak wiadomo \(\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix} n\\ 2 \end{matrix} \right\} = 2^{n-1}-1}\) (prosty dowód kombinatoryczny), stąd ze wzoru rekurencyjnego mamy:
\(\displaystyle{ a_n = \left\{ \begin{matrix} n\\ 3 \end{matrix} \right\} = 3 \left\{ \begin{matrix} n-1\\ 3 \end{matrix} \right\} + \left\{ \begin{matrix} n-1\\ 2 \end{matrix} \right\} = 3a_{n-1}+2^{n-2}-1}\)
oraz oczywiście \(\displaystyle{ a_3=1}\).
Najprościej tę rekurencję rozwiązać metodą przewidywań (rozwiązanie ogólne równania jednorodnego to \(\displaystyle{ C\cdot 3^n}\), a szczególne równania niejednorodnego to \(\displaystyle{ A\cdot 2^n}\) oraz \(\displaystyle{ B}\)), skąd otrzymujemy rozwiązanie:
\(\displaystyle{ a_n= \frac 16 \cdot 3^n -\frac 12 \cdot 2^n + \frac 12}\)
czyli takie którego prawdziwość mieliśmy wykazać.

Q.

[Zahion]

13:    

\(\displaystyle{ a+2b+c = \left( \sqrt{a}+ \sqrt{c} \right)^{2}}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ NWD(a,c)=d}\). Wtedy \(\displaystyle{ b^{2} = d^{2}a_{1}c_{1}}\). Widać już, że z warunku \(\displaystyle{ NWD\left( a_{1},c_{1}\right)=1}\) każda z liczb \(\displaystyle{ a_{1},c_{1}}\) musi być kwadratem liczby całkowitej. Dalej korzystając z warunku \(\displaystyle{ NWD\left(a,b,c \right)=1}\) widzimy, że \(\displaystyle{ d = 1}\), stąd liczby \(\displaystyle{ a, c}\) muszą być kwadratami liczb całkowitych, co kończy dowód.

[yorgin]

22:    

Niech

\(\displaystyle{ S_n=\sum\limits_{A\subset M(n)}f(A)}\)

Wtedy

\(\displaystyle{ S_1=-1}\)

oraz

\(\displaystyle{ \begin{aligned}
S_{n+1}&=\sum\limits_{A\subset M(n+1), n+1\not\in A}f(A)+\sum\limits_{A\subset M(n+1), n+1\in A}\\
&=\sum\limits_{A\subset M(n)}f(A)+\left(\sum\limits_{A\subset M(n), n+1\in A, |A|\geq 2}f(A)\right)-(n+1)\\
&=S_n-(n+1)\sum\limits_{A\subset M(n)}f(A)-(n+1)\\
&=S_{n}-(n+1)S_n-(n+1)\\
&=-nS_n-(n+1)\end{aligned}}\).

Jeżeli teraz \(\displaystyle{ S_n=-1}\) (założenie indukcyjne), to

\(\displaystyle{ S_{n+1}=-n(-1)-(n+1)=-1}\).

Ponadto mieliśmy wcześniej \(\displaystyle{ S_1=-1}\), zatem

dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ \red S_n=-1}\).

[Qń]

25:    

Nie.

Zauważmy, że pierwsze przekształcenie działa następująco przekształca trójmian \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\) na \(\displaystyle{ (a+b+c)x^2 + (2a+b)x+a}\), a drugie na \(\displaystyle{ cx^2 + (b-2c)x + a+c-b}\).

Delta pierwszego obrazu to:
\(\displaystyle{ \Delta_1 = (2a+b)^2 - 4a(a+b+c) = b^2-4ac}\)
a drugiego to:
\(\displaystyle{ \Delta_2 = (b-2c)^2 - 4c(a-b+c)= b^2-4ac}\)
co oznacza, że delta jest niezmiennikiem obu przekształceń.

Stąd wniosek, że rozpoczynając od trójmianu \(\displaystyle{ x^2+4x+3}\) o delcie \(\displaystyle{ 4}\) nigdy nie osiągniemy trójmianu \(\displaystyle{ x^2+10x+9}\) o delcie \(\displaystyle{ 64}\).

Q.

[Hydra147]

22. Inaczej:

Ukryta treść:    

Zauważmy, że:
\(\displaystyle{ 0=(1-1)(1-2)(1-3)...(1-n)=1+nasza suma}\)
Istotnie, każdemu iloczynowi elementów podzbioru zbioru \(\displaystyle{ M}\) odpowiada dokładnie jeden składnik w sumie powstałej po otworzeniu nawiasów w iloczynie powyżej zakładając, że iloczyn elementów zbioru pustego wynosi \(\displaystyle{ 1}\). W zadaniu jednak zbioru pustego się nie uwzględnia, musimy zatem odjąć jedynkę i ostatecznie nasza suma równa jest \(\displaystyle{ -1}\).

[kicaj]

19:    

Mamy \(\displaystyle{ p\left(\frac{xy}{x+y}\right) =\frac{p(x)p(y)}{p(x) +p(y)}}\) dla \(\displaystyle{ x,y>0.}\) Skąd podstawiając \(\displaystyle{ x=y}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ p\left(\frac{x}{2}\right) =\frac{p(x)}{2}}\) a ponieważ \(\displaystyle{ p}\) jest wielomianem, więc \(\displaystyle{ p(x)=x.}\)

[Qń]

10:    

Wystarczy sprawdzić, że wyrazy ciągu:
\(\displaystyle{ f_0=0\\
f_1 = 1\\
f_n =\left( f_{n-1} + f_{n-2}\right) \mod 34}\)
są zawsze różne od \(\displaystyle{ 17}\).

Ale początkowe wyrazy tego ciągu to:
\(\displaystyle{ 0,
1,
1,
2,
3,
5,
8,
13,
21,
0,\\
21,
21,
8,
29,
3,
32,
1,
33,
0,
33,\\
33,
32,
31,
29,
26,
21,
13,
0,
13,
13,\\
26,
5,
31,
2,
33,
1,
0,
1}\)
i jak widać dalej ciąg jest okresowy. Stąd nigdy nie pojawi się w nim liczba \(\displaystyle{ 17}\), a zatem żadna liczba Fibonacciego nie jest postaci \(\displaystyle{ 34k+17=17(2k+1)}\), czyli nie jest nieparzystą liczbą podzielną przez siedemnaście.

Q.

[mol_ksiazkowy]

16. cd

Ukryta treść:    

ale \(\displaystyle{ f}\) to iloczyn dzielników:
\(\displaystyle{ f(11)=11 \ f(6)= 36}\) itd.

1, 8

Ukryta treść:    

a jakieś rachunki...?

19 cd

Ukryta treść:    

a \(\displaystyle{ p(x)= -x}\) …?

14 cd

Ukryta treść:    

inna: Najpierw jest 25 żab na czarnych polach, skoczą na białe których jest 24, więc jakieś z nich na to samo.