sprowadzanie mianownika do postaci wymiernej

[metalknight]

Usunąć niewymierność z mianownika \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[4]{5}}}\) (nie chodzi o trywialne \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[4]{5}}}{1}}\) itp.)

jest dobrze przepisane

[fon_nojman]

Mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[4]{5}}=\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}+5^{\frac{1}{4}}+3^{\frac{1}{3}}}.}\)

Najpierw korzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3.}\) Otrzymamy wtedy

\(\displaystyle{ \frac{L_1}{(2^{\frac{1}{2}}+5^{\frac{1}{4}})^3+3}.}\)

Mianownik wynosi

\(\displaystyle{ x=2\cdot 2^{\frac{1}{2}}+6\cdot 2^{\frac{1}{2}}5^{\frac{1}{2}}+6\cdot 5^{\frac{1}{4}}+5^{\frac{1}{4}}5^{\frac{1}{2}}+3.}\)

Chcemy pozbyć się \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) z wykładnika

\(\displaystyle{ x-2\cdot 2^{\frac{1}{2}}-6\cdot 2^{\frac{1}{2}}5^{\frac{1}{2}}-3=5^{\frac{1}{4}}(6+5^{\frac{1}{2}})\ |(\ldots)^2}\)

\(\displaystyle{ (x-2\cdot 2^{\frac{1}{2}}-6\cdot 2^{\frac{1}{2}}5^{\frac{1}{2}}-3)^2=5^{\frac{1}{2}}(6+5^{\frac{1}{2}})^2}\)

po redukcji otrzymujemy

\(\displaystyle{ x(-x+12\cdot 2^{\frac{1}{2}}5^{\frac{1}{2}}+4\cdot 2^{\frac{1}{2}}+6)=36\cdot 2^{\frac{1}{2}}5^{\frac{1}{2}}+7\cdot 5^{\frac{1}{2}}+12\cdot 2^{\frac{1}{2}}+317.}\)

Przyjmując za \(\displaystyle{ L_2}\) wyrażenie w nawiasie nasz ułamek wynosi

\(\displaystyle{ \frac{L_1 L_2}{36\cdot 2^{\frac{1}{2}}5^{\frac{1}{2}}+7\cdot 5^{\frac{1}{2}}+12\cdot 2^{\frac{1}{2}}+317}=\frac{L_1 L_2}{12\cdot 2^{\frac{1}{2}}+317+5^\frac{1}{2}(36\cdot 2^{\frac{1}{2}}+7)}.}\)

Korzystając z \(\displaystyle{ (a+b)(a-b)=a^2-b^2}\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ \frac{L_1 L_2 L_3}{(12\cdot 2^{\frac{1}{2}}+317)^2-5(36\cdot 2^{\frac{1}{2}}+7)^2}=\frac{L_1 L_2 L_3}{87572+5088\cdot 2^{\frac{1}{2}}}.}\)

Teraz z znowu z tego samego mamy

\(\displaystyle{ \frac{L_1 L_2 L_3 L_4}{7617079696}.}\)

Podstawiając za \(\displaystyle{ L_1 L_2 L_3 L_4}\) to co trzeba (nie wymnażam z wiadomych względów) mamy

\(\displaystyle{ \frac{1}{7617079696}(6\cdot 2^{\frac{1}{2}}5^{\frac{1}{2}}-5^{\frac{3}{4}}-6\cdot 5^{\frac{1}{4}}+2\cdot 2^{\frac{1}{2}}+3)(3^{\frac{2}{3}}-3^{\frac{1}{3}}5^{\frac{1}{4}}-2^{\frac{1}{2}}3^{\frac{1}{3}}+5^{\frac{1}{2}}+2\cdot 2^{\frac{1}{2}}5^{\frac{1}{4}}+2)(12\cdot 2^{\frac{1}{2}}+317-36\cdot 2^{\frac{1}{2}}5^{\frac{1}{2}}+7\cdot 5^{\frac{1}{2}})(87572-5088\cdot 2^{\frac{1}{2}}).}\)

Myślałem, że wyjdzie prostsza postać ale jak już wyliczyłem to zamieszczam.

[mol_ksiazkowy]

Usunąć niewymierność z mianownika \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[4]{5}} \approx 0,23}\)

czy tyle bedzie z Twoich obliczeń ?

[fon_nojman]

Tyle będzie, ale po co to przybliżać? Mieliśmy usunąć niewymierność z mianownika i jest usunięta.

[metalknight]

\(\displaystyle{ \frac{1}{7617079696} \le \frac{1}{7617079696}}\)
\(\displaystyle{ 6\cdot 2^{\frac{1}{2}}5^{\frac{1}{2}}-5^{\frac{3}{4}}-6\cdot 5^{\frac{1}{4}}+2\cdot 2^{\frac{1}{2}}+3 < 12.4863}\) - % ... %7D%7D%2B3
\(\displaystyle{ 3^{\frac{2}{3}}-3^{\frac{1}{3}}5^{\frac{1}{4}}-2^{\frac{1}{2}}3^{\frac{1}{3}}+5^{\frac{1}{2}}+2\cdot 2^{\frac{1}{2}}5^{\frac{1}{4}}+2 < 6.349322}\) - % ... %7D%7D%2B2
\(\displaystyle{ 12\cdot 2^{\frac{1}{2}}+317-36\cdot 2^{\frac{1}{2}}5^{\frac{1}{2}}+7\cdot 5^{\frac{1}{2}} < 235.781043}\) - http://www.wolframalpha.com/input/?i=12 ... %7B2%7D%7D
\(\displaystyle{ 87572-5088\cdot 2^{\frac{1}{2}} <80376.4814}\) - http://www.wolframalpha.com/input/?i=87 ... %7B2%7D%7D

Wymnażając prawe strony dostaję

\(\displaystyle{ \frac{1}{7617079696} \cdot 12.4863 \cdot 6.349322 \cdot 235.781043
\cdot 80376.4814 < 0.2}\) - http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5 ... 76.4814%3D

Tymczasem \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[4]{5}}>0.22}\) - http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5 ... %7B5%7D%7D

więc wychodzi na to, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[4]{5}} > \frac{1}{7617079696}(6\cdot 2^{\frac{1}{2}}5^{\frac{1}{2}}-5^{\frac{3}{4}}-6\cdot 5^{\frac{1}{4}}+2\cdot 2^{\frac{1}{2}}+3)(3^{\frac{2}{3}}-3^{\frac{1}{3}}5^{\frac{1}{4}}-2^{\frac{1}{2}}3^{\frac{1}{3}}+5^{\frac{1}{2}}+2\cdot 2^{\frac{1}{2}}5^{\frac{1}{4}}+2)(12\cdot 2^{\frac{1}{2}}+317-36\cdot 2^{\frac{1}{2}}5^{\frac{1}{2}}+7\cdot 5^{\frac{1}{2}})(87572-5088\cdot 2^{\frac{1}{2}})}\)

No chyba że wolfram się myli, ale w takim razie gdzie?

[fon_nojman]

Poprawka:    

Znalazłem u siebie błąd w drugim kroku.
Mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[4]{5}}=\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}+5^{\frac{1}{4}}+3^{\frac{1}{3}}}.}\)

Najpierw korzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3.}\) Otrzymamy wtedy

\(\displaystyle{ \frac{L_1}{(2^{\frac{1}{2}}+5^{\frac{1}{4}})^3+3}.}\)

Mianownik wynosi

\(\displaystyle{ x=2\cdot 2^{\frac{1}{2}}+6\cdot 2^{\frac{1}{2}}5^{\frac{1}{2}}+6\cdot 5^{\frac{1}{4}}+5^{\frac{1}{4}}5^{\frac{1}{2}}+3.}\)

Chcemy pozbyć się \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) z wykładnika

\(\displaystyle{ x-2\cdot 2^{\frac{1}{2}}-6\cdot 2^{\frac{1}{2}}5^{\frac{1}{2}}-3=5^{\frac{1}{4}}(6+5^{\frac{1}{2}})\ |(\ldots)^2}\)

\(\displaystyle{ (x-2\cdot 2^{\frac{1}{2}}-6\cdot 2^{\frac{1}{2}}5^{\frac{1}{2}}-3)^2=5^{\frac{1}{2}}(6+5^{\frac{1}{2}})^2}\)

po redukcji otrzymujemy (TUTAJ BYŁ BŁĄD)

\(\displaystyle{ x(-x+6\cdot 2^{\frac{1}{2}}5^{\frac{1}{2}}+4\cdot 2^{\frac{1}{2}}+6)=18\cdot 2^{\frac{1}{2}}5^{\frac{1}{2}}-17\cdot 5^{\frac{1}{2}}+12\cdot 2^{\frac{1}{2}}+47.}\)

Przyjmując za \(\displaystyle{ L_2}\) wyrażenie w nawiasie nasz ułamek wynosi

\(\displaystyle{ \frac{L_1 L_2}{18\cdot 2^{\frac{1}{2}}5^{\frac{1}{2}}-17\cdot 5^{\frac{1}{2}}+12\cdot 2^{\frac{1}{2}}+47}=\frac{L_1 L_2}{12\cdot 2^{\frac{1}{2}}+47+5^\frac{1}{2}(18\cdot 2^{\frac{1}{2}}-17)}.}\)

Korzystając z \(\displaystyle{ (a+b)(a-b)=a^2-b^2}\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ \frac{L_1 L_2 L_3}{(12\cdot 2^{\frac{1}{2}}+47)^2-5(18\cdot 2^{\frac{1}{2}}-17)^2}=\frac{L_1 L_2 L_3}{4188\cdot 2^{\frac{1}{2}}-2188}.}\)

Teraz z znowu z tego samego mamy

\(\displaystyle{ \frac{L_1 L_2 L_3 L_4}{30291344}.}\)

Podstawiając za \(\displaystyle{ L_1 L_2 L_3 L_4}\) to co trzeba (nie wymnażam z wiadomych względów) mamy

\(\displaystyle{ \frac{1}{30291344}(3^{\frac{2}{3}}-3^{\frac{1}{3}}5^{\frac{1}{4}}-2^{\frac{1}{2}}3^{\frac{1}{3}}+5^{\frac{1}{2}}+2\cdot 2^{\frac{1}{2}}5^{\frac{1}{4}}+2)(3\cdot 2^{\frac{1}{2}}5^{\frac{1}{2}}-5^{\frac{3}{4}}-6\cdot 5^{\frac{1}{4}}+2\cdot 2^{\frac{1}{2}}+3)(12\cdot 2^{\frac{1}{2}}+47-18\cdot 2^{\frac{1}{2}}5^{\frac{1}{2}}+17\cdot 5^{\frac{1}{2}})(4188\cdot 2^{\frac{1}{2}}+2188).}\)

Teraz powinno być ok \(\displaystyle{ ( \approx 0,23).}\) Ciekawe jaki jest prostszy sposób.