[Planimetria] Trzy geometrie z okręgami

[adriano1992]

1) Na trójkącie opisano okrąg. Cięciwy łączące środek łuku AC ze środkami łuków AB i BC przecinają boki AB i AC w punktach D i E. Udowodnić, że DE przechodzi przez środek okręgu wpisanego w ABC.

2) Cztery proste tworzą na płaszczyźnie 4 trójkąty. Niech M będzie punktem wspólnym okręgów opisanych na tych trójkątach. Udowodnić, że środki okręgów opisanych na tych trójkątach znajdują się na jednym okręgu i punkt M też należy do tego okręgu.

3) Na czworokącie ABCD można opisać okrąg. Niech P będzie punktem symetrycznym do C względem AB, a Q punktem symetrycznym do C względem AD. Udowodnić, że PQ przechodzi przez ortocentrum trójkąta ABD.

[sigmaIpi]

W zad 1. Jest błąd w treści. "przecinają boki AB i AC w punktach " nie AB i AC tylko AB i BC.

[Swistak]

Zadanie 3 jest to dość znany fakt o prostej Simsona, że ona przecina odcinek CH w połowie. Ta prosta z zadania to obraz prostej Simsona punktu C względem trójkąta ABD w jednokładności o skali 2 i środku w C.
Oczywiście, to nie jest rozwiązanie, o które chodziło autorowi, tylko powiedzenie, że to znany fakt .

[hafaal]

Zad 1.

Ukryta treść:    

Niech środki łuków \(\displaystyle{ AC}\) \(\displaystyle{ CB}\) \(\displaystyle{ BA}\) będą odpowienio \(\displaystyle{ A5 \quad A6 \quad A4}\) .Zmienimy nieco oznaczenia punktów na następujące : \(\displaystyle{ A=A1\quad B=A2 \quad C=A3 \quad D=B1 \quad E=B3}\) Zauważmy, że punkt przecięcia \(\displaystyle{ A4A3}\) i \(\displaystyle{ A1A6}\) jest środkiem okręgu wpisanego w \(\displaystyle{ ABC}\) (Bo \(\displaystyle{ A6 A4}\) środkami łuków, odpowiednie kąty równe) Oznaczmy ten punkt jako \(\displaystyle{ B2}\) . Z twierdzenia Pascala mamy, że punkty \(\displaystyle{ B1 \quad B2 \quad B3}\) są współliniowe, czyli \(\displaystyle{ DE}\) przechodzi przez \(\displaystyle{ B2}\) - środek okręgu wpisanego w \(\displaystyle{ ABC}\)