[MIX] Mix matematyczny (28)

[mol_ksiazkowy]

1. a) Znaleźć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ a}\) takie że \(\displaystyle{ a-1}\) jest sumą dwóch (niekoniecznie różnych) dzielników liczby \(\displaystyle{ a}\)
b) Znaleźć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ a}\) takie że \(\displaystyle{ a-1}\) jest sumą trzech (niekoniecznie różnych) dzielników liczby \(\displaystyle{ a}\)
c) Podać przykład liczby a, takiej że \(\displaystyle{ a-1}\) jest sumą czterech (niekoniecznie różnych) dzielników liczby \(\displaystyle{ a}\)
d) Czy prawdziwe jest twierdzenie: dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) istnieje tylko skończona ilość liczb \(\displaystyle{ a}\) takich , że \(\displaystyle{ a-1}\) jest sumą \(\displaystyle{ n}\) (niekoniecznie różnych) dzielników liczby \(\displaystyle{ a}\)
2. Rozwiąz układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=3\\2xy-2y-z^2=4\end{cases}}\)
3. Wykaz, że istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\) :
\(\displaystyle{ 1=\frac{1}{2}+\frac{1}{5} +\frac{1}{8}+\frac{1}{11}+\frac{1}{20}+ \frac{1}{41}+ \frac{1}{110}+ \frac{1}{n}}\)
i znajdz ją
4. Rozważamy na płaszczyźnie (w prostokątnym układzie współrzędnych) trójkąty równoboczne, których dwa wierzchołki leżą na prostej \(\displaystyle{ y=x+2}\), zaś współrzedne \(\displaystyle{ (x,y)}\) trzeciego wierzchołka spełniają warunek: \(\displaystyle{ x^2 \leq y \leq x+2}\).Wsród takich trójkątów znajdź ten o największym polu
5. Wykaż, że wśród dowolnych 16 parami różnych liczb naturalnych, które wszystkie są \(\displaystyle{ \leq 100}\) istnieją cztery takie \(\displaystyle{ a, b, c, d}\), że \(\displaystyle{ a+b=c+d}\)
Czy można "zejść niżej " niż 16 ?
6. Pewne zawody matematyczne odbyły się w dwóch dniach. Rozwiązywano łącznie 28 zadań. Dla dowolnej pary dwóch zadań znalazło się dokładnie dwóch zawodników, którze je rozwiązali. Każdy zawodnik rozwiązał dokładnie 7 zadań. Wykazać, że był taki zawodnik, który w pierwszy dzień albo nie rozwiązał żadnego zadania albo rozwiązał co najmniej cztery
7. Wyznaczyć wszystkie pary \(\displaystyle{ (n,p)}\) gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną, zaś \(\displaystyle{ p}\) liczbą pierwszą:
\(\displaystyle{ \frac{p^5-1}{p-1}=n^2}\)
8. Dane jest 6 liczb, które wiąże ze sobą układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y^2+yz+z^2=a^2\\z^2+zx+x^2=b^2\\x^2+xy+y^2=c^2 \end{cases}}\)
Wyznacz sumę \(\displaystyle{ x+y+z}\) jako funkcję zmienych \(\displaystyle{ a, b, c}\). Podaj interpretację geometryczną
9. Dany jest trapez ABCD, gdzie BC i AD są to podstawy. Punkt M wybrano na BC, a N na ramieniu CD, Proste AM i BN przecinają się w punkcie K przy czym \(\displaystyle{ |AK|=3|KM|}\) i \(\displaystyle{ |KN|=2|BK|}\). Obliczyć \(\displaystyle{ k=\frac{|CN|}{|ND|}}\)
10. Noworoczne \(\displaystyle{ p=2011}\) jest liczbą pierwszą. a) zapisz \(\displaystyle{ p}\) w postaci sumy kwadratów czterech liczb całkowitych
b) Czy można zapisac \(\displaystyle{ p}\) jako sumę kwadratów trzech liczb całkowitych ?

[Ahhaa]

2.

Ukryta treść:    

Z pierwszego \(\displaystyle{ z=3-x-y}\)
Podstawiając do drugiego i zwijając dostaniemy
\(\displaystyle{ (x-3)^{2}+(y-2)^{2}=0}\) czyli mamy trójkę liczb \(\displaystyle{ (x,y,z)=(3,2,-2)}\). Na koniec sprawdzamy czy trójka spełnia ten układ

-- 17 sty 2011, o 15:58 --

7.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \frac{p^{5}-1}{p-1}=p^{4}+ p^{3}+p^{2}+p+1=n^{2}}\)
skoro \(\displaystyle{ p^{4}+ p^{3}+p^{2}+p+1}\) ma być kwadratem liczby naturalnej to \(\displaystyle{ 4(p^{4}+ p^{3}+p^{2}+p+1)}\) tez nim będzie. Zapiszmy:
\(\displaystyle{ 4(p^{4}+ p^{3}+p^{2}+p+1)=(2p^{2}+p+1)^{2}-p^{2}+2p+3}\) i oznaczmy
\(\displaystyle{ 2p^{2}+p+1=a}\)
\(\displaystyle{ -p^{2}+2p+3=b}\)
Dla liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\) można pokazać ze prawdziwe są nierówności
\(\displaystyle{ (a-1)^{2}<a^{2}+b<(a+1)^{2}}\)
musi więc być \(\displaystyle{ a^{2}+b=a^{2}}\)
\(\displaystyle{ b=0}\)
Znajdujemy pierwiastki tego równania, jedyny który jest także liczbą pierwszą to 3. Podstawiamy do równania i otrzymujemy jedyne rozwiazanie \(\displaystyle{ (p,n)=(3,11)}\)

-- 17 sty 2011, o 16:03 --

10. a)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 1^{2}+5^{2}+7^{2}+44^{2}=2011}\)

-- 17 sty 2011, o 16:11 --

1.

Ukryta treść:    

a) będzie musiała zachodzić nierówność \(\displaystyle{ a-1 \le \frac{a}{2}+ \frac{a}{3} \Leftrightarrow a \le 6}\) sprawdzając ręcznie okazuje się, ze jedynymi takimi liczbami bedą 3,4
Podpunkty b,c idą podobnie tylko układamy inne nierówności.
d) nie, dla \(\displaystyle{ n=a-1}\) możemy sumowac same jedynki i dowolna liczba naturalna większa od 2 będzie spełniała warunki zadania

[arek1357]

ad 3) n=1640

-- 23 stycznia 2011, 10:55 --

ad 9). Ustalam że BC dolna podstawa dłuższa a AD górna krótsza.
Ramieniem DC można obracać wokół punktu N i tak dopasować to ramię że będzie ono równoległe do prostej AM. Nie zmieni to ogólności rozważań ponieważ proporcje na odcinku DC zostaną zachowane
z tw. Talesa. a jak już dobierzemy DC tak żeby było równoległe do AM widać że CN:DN=3:1 z Talesa-- 23 stycznia 2011, 13:00 --W zadaniu 6 coś mi się nie podoba , bo każdy zawodnik mógł w pierwszy dzień rozwiązać tylko 3 zadania
a w drugi dzień tylko 4.
Ja po prosu nie widzę związku treści z pytaniem. to jest coś takiego że skoro 2*2=4 to jakiego koloru
jest niedźwiedź polarny zamieszkały w wrocławskim ZOO??

[kammeleon18]

Czy prawdziwe jest twierdzenie: dla dowolnej liczby naturalnej n istnieje tylko skończona ilość liczb a takich , że a-1 jest sumą n (niekoniecznie różnych) dzielników liczby a

2.

-- 17 sty 2011, o 16:11 --

1.
d) nie, dla \(\displaystyle{ n=a-1}\) możemy sumowac same jedynki i dowolna liczba naturalna większa od 2 będzie spełniała warunki zadania

Tu udowodniłeś.że istnieje przynajmniej jedna, a pytanie jest o to czy jest ich skończona ilość.

[Ahhaa]

SchmudeJanusz,
Nie o to pytają

"Czy prawdziwe jest twierdzenie: dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) istnieje tylko skończona ilość liczb..."

Podając przykład jednej liczby naturalnej dla której teza nie jest prawdziwa udowodnione zostało, że twierdzenie jest fałszywe. Kontrprzykład wystarcza.

[LisuBB]

Ja po prosu nie widzę związku treści z pytaniem. to jest coś takiego że skoro 2*2=4 to jakiego koloru
jest niedźwiedź polarny zamieszkały w wrocławskim ZOO??

To pytanie akurat ma sens, bo skoro wszystkie niedźwiedzie polarne są białe, to w szczególności z faktu, że 2*2=4 wynika że niedźwiedź polarny zamieszkały we wrocławskim zoo jest biały.

[arek1357]

No chyba żę się pobrudził

[kammeleon18]

SchmudeJanusz,
Nie o to pytają

"Czy prawdziwe jest twierdzenie: dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) istnieje tylko skończona ilość liczb..."

Podając przykład jednej liczby naturalnej dla której teza nie jest prawdziwa udowodnione zostało, że twierdzenie jest fałszywe. Kontrprzykład wystarcza.

Wydaje mi się,że zaprzeczenie wytłuszczonego twierdzenia brzmi:
"Istnieje takie \(\displaystyle{ n}\), że istnieje nieskończenie wiele liczb \(\displaystyle{ a}\) takich,że..."
a dowodu tego faktu nie widzę.

[mol_ksiazkowy]

ad 3) n=1640

A skad to wiemy...?

[kp1311]

3) Ponieważ:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 1=\frac{1}{2}+\frac{1}{5} +\frac{1}{8}+\frac{1}{11}+\frac{1}{20}+ \frac{1}{41}+ \frac{1}{110}+ \frac{1}{n}}\)

1)\(\displaystyle{ \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{11}+\frac{1}{110} = \frac{5+2}{10} + \frac{1+10}{110} = \frac{7+1}{10} = \frac{32}{40}}\)

2)\(\displaystyle{ \frac{1}{8} + \frac{1}{20} + \frac{1}{41}= \frac{7}{40} + \frac{1}{41}}\)

Czyli \(\displaystyle{ 1= \frac{32}{40} + \frac{7}{40} + \frac{1}{41} + \frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ 1= \frac{39}{40} + \frac{1}{41} + \frac{1}{n} \Leftrightarrow \frac{1}{40} = \frac{1}{41} + \frac{1}{n} \Leftrightarrow 41n = 40n + 1640 \Leftrightarrow n=1640}\)

4)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ P = \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} = \frac{3a^2}{4} \frac{1}{ \sqrt{3} } = \frac{h^2}{ \sqrt{3} }}\).

Trójkąt o największym polu to ten o najdłuższej wysokości. Jeśli trzeci wierzchołek \(\displaystyle{ C}\) leży wewnątrz opisanego obszaru to otaczają go inne punkty tego obszaru możemy więc z nich wybrać taki który będzie bardziej oddalony od prostej \(\displaystyle{ y=x+2}\). Dlatego też \(\displaystyle{ C}\) powinien leżeć na brzegu obszaru czyli w tym wypadku na paraboli \(\displaystyle{ y=x^2}\) (to że nie leży na prostej \(\displaystyle{ y=x+2}\) jest oczywiste). Szukamy wiec teraz punktu o współrzędnych \(\displaystyle{ (x,x^2)}\) najbardziej oddalonego od prostej \(\displaystyle{ y=x+2}\) dla \(\displaystyle{ x \in <-1,2>}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{|x-x^2+2|}{ \sqrt{2} } = \frac{| \frac{9}{4} - (x- \frac{1}{2} )^2 |}{ \sqrt{2} } = \frac{\frac{9}{4} - (x- \frac{1}{2} )^2}{ \sqrt{2} } \le \frac{ \frac{9}{4} - 0 }{ \sqrt{2} } = \frac{9}{4 \sqrt{2} }}\)

Równość zachodzi dla \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\), więc \(\displaystyle{ C=( \frac{1}{2}, \frac{1}{4} )}\).
Współrzędne pozostałych dwóch też sobie można policzyć rozwiązując odpowiedni układ równań, ale chyba nie ma takiej potrzeby, współrzędna trzeciego wierzchołka określa szukany trójkąt jednoznacznie.

10 b)

Ukryta treść:    

nie, kwadrat liczby całkowitej daje przy dzieleniu prze \(\displaystyle{ 8}\) resztę \(\displaystyle{ 0,1,4}\).
2011 = 251 cdot 8 + 3, więc skoro suma trzej kwadratów ma dawać resztę \(\displaystyle{ 3}\) to każdy z nich musi dawać resztę \(\displaystyle{ 1}\), są to wiec liczby postaci \(\displaystyle{ 8a+1}\), \(\displaystyle{ 8b+1}\) ,\(\displaystyle{ 8c+1}\). Stąd otrzymujemy równanie \(\displaystyle{ 2011 = 64a^2 + 16a + 1 + 64b^2 + 16b+1+64c^2+16c+1 Leftrightarrow 2008 = 16(4(a^2+b^2+c^2) + a+b+c), ale \(\displaystyle{ 16}\) nie dzieli \(\displaystyle{ 2008}\).}\)

[adamm]

8 hincior:    

Rozpatrzmy trójkąt ABC o bokach długości a, b i c. Niech F oznacza punkt Fermata, jaką długość mają odcinki AF, BF, CF?