[MIX] Mix matematyczny (27)

[mol_ksiazkowy]

1. Znajdz wszystkie pary \(\displaystyle{ (m,n)}\) liczb naturalnych, takich że \(\displaystyle{ m^2+n^2}\) jest dzielnikiem liczb \(\displaystyle{ m^3+n}\) i \(\displaystyle{ m+n^3}\)
2. Niech dana będzie macierz A
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}11&17&25&19&16\\24&10&13&15&3\\12&5&14&2&18\\23&4&1&8&22\\6&20&7&21&9\end{array}\right]}\)
Wybierz 5 elementów , po jednym z każdego wiersza i kolumny, tak aby minimum z wybranej piątki było możliwie największe. Uzasadnić wybór.
3. Znajdz wszystkie \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) ciągłe i takie że
\(\displaystyle{ f(x)^3=-\frac{x}{12}(x^2+7xf(x)+16f(x)^2)}\)
dla \(\displaystyle{ x \in R}\)
4. \(\displaystyle{ AB}\) jest średnicą okręgu na którym leży punkt \(\displaystyle{ C}\). Styczne w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) przecinają się w \(\displaystyle{ E}\). Punkt \(\displaystyle{ N}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ AC}\), zaś \(\displaystyle{ K}\) jest środkiem łuku \(\displaystyle{ BC}\) (który nie zawiera \(\displaystyle{ A}\)). Prosta \(\displaystyle{ KN}\) przecina okrąg w punkcie \(\displaystyle{ M}\). Wykaż, że kąt \(\displaystyle{ EMK}\) jest prosty.
5. Wykaż je jesli \(\displaystyle{ a+b+c+d+e+f=0}\) oraz \(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3+d^3+e^3+f^3=0}\) to
\(\displaystyle{ (a+c)(a+d)(a+e)(a+f)=(b+c)(b+d)(b+e)(b+f)}\)
6. Niech \(\displaystyle{ n}\) bedzie liczba naturalna, i liczby \(\displaystyle{ a_j \geq 1}\) dla \(\displaystyle{ j=1,...,n}\). Wykazać iz \(\displaystyle{ (1+a_1)...(1+a_n) \geq \frac{2^n}{n+1}(1+a_1+...+a_n)}\)
kiedy zachodzi równosc ?
7. Wykaż i to na 4 rózne sposoby ze nie istnieje wielomian \(\displaystyle{ p(x)}\), taki ze \(\displaystyle{ p(n)=log(1)+...+log(n)}\)
dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,...}\)
8. Dane są trzy liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y, z}\) powiązane zaleznościa \(\displaystyle{ xy= z^2+1}\). Wykazać, ze istnieja liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) takie że
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=a^2+b^2\\y=c^2+d^2\\z=ac+bd\end{cases}}\)
Dać przykład (podając \(\displaystyle{ a,b,c,d}\), dla \(\displaystyle{ x=13, \ y=5, \ z=8}\))
9. Na tablicy wypisano ciąg w którym występuja kolejne liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\) oraz ich kolejne wielokrotności (od \(\displaystyle{ n}\) do \(\displaystyle{ n^2}\)) tj ciag
\(\displaystyle{ 1, 2,4, 3,6,9, 4,8, 12, 16, 5,10,15,20,25, 6,...}\)
a) znajdz 2010 wyraz tego ciagu
b) podaj najmniejszy index \(\displaystyle{ j}\) taki że \(\displaystyle{ a_j=2010}\)
10. Znajdz wielomian stopnia drugiego, tj \(\displaystyle{ p(x)=ax^{2}+bx+c}\), którego współczynniki są liczbami rzeczywistymi o tej własnosci że dzieli on dwa z poniższych wielomianów, ale nie dzieli trzeciego z nich
\(\displaystyle{ x^{3986}+x^{1993}+1}\), \(\displaystyle{ x^{3988}+x^{1994}+1}\), \(\displaystyle{ x^{3990}+x^{1995}+1}\),
11. Zadanie H. Steinhausa. Mamy dowolny trójkąt. możemy go przeciąć linią prostą tak, by przepołowić jego obwód. Możemy nawet z góry przepisać kierunek linii przecinającej. Gdy zrobimy to dwa razy, używając dwu różnych kierunków, linie proste przetną się w pewnym punkcie \(\displaystyle{ Q}\). Wtedy przez \(\displaystyle{ Q}\) wiodą dwie linie proste przepoławiające obwód.
Czy istnieje punkt, przez który wiodą trzy takie linie ? Jeśli tak, to jak go znaleźć ?

[daniello]

Zad 2 : Odp: 15, 18, 20, 23 ,25.

Uzasadnienie: Dlaczego nie da się wybrać liczb z większym minimum?
musimy wybrać choć jedną liczbę z wiersza 3go,
musimy wybrać 18, ponieważ każdy inny wybór da wynik gorszy niż 15;
w wierszu 4-ym musimy wybrać 23;
w wierszu 2-im pozostaje już tylko 15;
w wierszu 5-ym 20;
w wierszu 1-ym 25.

[Swistak]

9 jest banalne

9:    

Najpierw jest jedna wielokrotność 1, potem 2 wielokrotności 2 itd. łącznie po wypisaniu k liczb oraz ich wielokrotności mamy \(\displaystyle{ \frac{k\cdot (k+1)}{2}}\) liczb. Zatem po wypisaniu 62 oraz jej wielokrotności dostaniemy 1953 wyrazy ciągu. Zatem 2010 wyraz to będzie \(\displaystyle{ 63 \cdot 57=3591}\).
Dana liczba jest w ciągu wtedy, gdy jakiś podciąg wielokrotności jest zaczęty od jej dzielnika równego co najmniej pierwiastkowi z niej (oczywiście im mniejszy ten dzielnik, tym ta liczba wystąpi prędzej). \(\displaystyle{ 2010=2\cdot 3\cdot 5\cdot 67}\), zatem widać, że najmniejszy dzielnik 2010 równy co najmniej pierwiastkowi z niej, to 67. Zatem 2010 wystąpi po raz pierwszy na pozycji \(\displaystyle{ \frac{66\cdot 67}{2}+30=2241}\).

[Dumel]

jednym sposobem:

zad. 7.:    

ze wzoru Stirlinga \(\displaystyle{ p(n)= \theta(n \ln n)}\) wiec nie moze to byc wielomian

[Swistak]

10:    

Z rozkminy na pierwiastkach pierwotnych wynikło, że wielomian \(\displaystyle{ x^{2}+x+1}\) dzieli 2 pierwsze wielomiany, a trzeciego nie (bo w trzecim potęgi są podzielne przez 3, a w dwóch pierwszych przepermutowane reszty mod 3)

[Dumel]

zad. 3.

Ukryta treść:    

ćwiczenie na rozkładanie wielomianu. podpowiedź: \(\displaystyle{ (f(x)+\frac{x}{2})^2(f(x)+\frac{x}{3})=0}\) czy coś w tym stylu nie pamietam dokładnie

[timon92]

11.

Ukryta treść:    

punkt Nagela

[Elvis]

7. Znowu jeden sposób, ale ponieważ nic nie zrozumiałem z tego co napisał Dumel, nie mogę obiecać, że jest to istotnie różne.

Ukryta treść:    

Przypuśćmy, że istnieje. Weźmy funkcję wymierną \(\displaystyle{ q(x)=\frac{p(x)-p(x-1)}{x}}\). Dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}}\), \(\displaystyle{ n \geq 2}\), zachodzi \(\displaystyle{ q(n) = \frac{\log n}{n}}\), zatem \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} q(n) = 0}\) (jako granica ciągu). Ogólniej \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} q(x) = 0}\), bo funkcje wymierne mają granice w nieskończoności. To z kolei oznacza, że wielomian \(\displaystyle{ p(x)-p(x-1)}\) jest stały, czyli \(\displaystyle{ p}\) jest "liniowy po liczbach naturalnych", co prowadzi do sprzeczności.

1.

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ d=(m,n)}\). Wtedy \(\displaystyle{ d^2|m^2+n^2|m^3+n,m+n^3}\), więc \(\displaystyle{ d^2|m,n}\) (\(\displaystyle{ d|m^3,n^3}\)). Dlatego \(\displaystyle{ d=1}\) - liczby \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) są względnie pierwsze.

Z założenia wynika \(\displaystyle{ m^2+n^2|m^3+n+m+n^3=(m^2+n^2)(m+n)+(1-mn)(m+n)}\), więc \(\displaystyle{ m^2+n^2|(1-mn)(m+n)}\). Łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ (m^2+n^2,m+n)|2}\), więc \(\displaystyle{ m^2+n^2|2(1-mn)}\), czyli \(\displaystyle{ m^2+n^2|2mn-2}\). Z drugiej strony \(\displaystyle{ m^2+n^2 \geq 2mn > 2mn - 2 \geq 0}\) (\(\displaystyle{ m,n \in \mathbb{Z}^+}\)), więc musi być \(\displaystyle{ 2mn-2=0}\), czyli \(\displaystyle{ (m,n)=(1,1)}\).

Para \(\displaystyle{ (1,1)}\) jest więc jedyną dobrą parą.

[Swistak]

11 trochę lepiej?:    

Nie jestem pewien tego co teraz piszę, ale wydaje mi się, że jeżeli żadna z tych dwóch prostych nie przejdzie przez wierzchołek trójkąta, to biorąc randomową prostą, rozróżniając to co jest po jej lewej stronie oraz po prawej i określając funkcję jako różnicę tego co jest po lewej stronie i po prawej stronie, to obkręcając ją zmienimy jej znak, a wiemy, że przy tym obkręcaniu miała 2 miejsca zerowe. Moja intuicja mówi mi, że zazwyczaj miejsce zerowe będzie miejscem zmiany znaku, myślę, że może da się to dowieść przez zamachanie rękami, ale to są tylko moje podejrzenia. Gdyby tak było, to wiemy, że funkcja w sumie po obkręceniu tej prostej o 180 stopni zmieni znak, a po drodze miała co najmniej 2 miejsca zmiany znaku, to musiała mieć co najmniej jeszcze jedno, a więc wychodziłoby na to, że przez ten punkt wiedzie także 3 prosta połowiąca obwód trójkąta.

[mol_ksiazkowy]

ad 7

Ukryta treść:    

3 sposob sie narzuca, bo \(\displaystyle{ p(n+1)-p(n)=log(n+1)}\)

[TomciO]

Zadanie 4

Ukryta treść:    

Jasne jest, że punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ N}\) są inwersyjne względem danego okręgu, którego środek oznaczmy przez \(\displaystyle{ O}\). A więc skoro punkty \(\displaystyle{ M, N}\) i \(\displaystyle{ K}\) są współliniowe, to punkty \(\displaystyle{ E, M, O, K}\) leżą na jednym okręgu. A zatem \(\displaystyle{ \angle EMK = \angle EOK}\). Wystarczy więc wykazać, że proste \(\displaystyle{ EO}\) i \(\displaystyle{ OK}\) są prostopadłe. Zauważmy jednak, że prosta \(\displaystyle{ OK}\) jest symetralną odcinka \(\displaystyle{ BC}\), a więc jest do niego prostopadła. A skoro punkt \(\displaystyle{ N}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ AC}\), zaś punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ AB}\), to prosta \(\displaystyle{ NO}\) (czyli też prosta \(\displaystyle{ EO}\)) jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ BC}\). A stąd wynika już żądana prostopadłość.

Zadanie 6

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ S=a_1+a_2 + \ldots + a_n}\). W skrócie rozwiązanie opiera się na metodzie zbliżeń. Dokładniej, rozważmy taką \(\displaystyle{ n}\)-tkę \(\displaystyle{ (a_1, a_2, \ldots, a_n)}\), dla której wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{L}{P}}\), gdzie \(\displaystyle{ L}\) oznacza prawą stronę nierówności zaś \(\displaystyle{ R}\) prawą, jest minimalne (taka istnieje, gdyż zbiór \(\displaystyle{ \{ (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n: x_1, x_2 \ldots, x_n \geq 1, x_1+x_2 + \ldots + x_n = S \}}\) jest zwarty, ale jeśli ktoś nie wie o co chodzi to chyba i tak jest to dosyć intuicyjne). Załóżmy teraz, że pewne dwie liczby \(\displaystyle{ a_i}\) nie są równe i zastąpmy je ich średnią arytmetyczną. Taka \(\displaystyle{ n}\)-tka ma tą samą sumę wszystkich składników (a więc w szczególności prawa strona nierówności się nie zmienia) i z łatwego do sprawdzenia oszacowania \(\displaystyle{ (1+x)(1+y) > (1+\frac{x+y}{2})^2}\) (gdy \(\displaystyle{ x \neq y}\)) wynika, że dla takiej \(\displaystyle{ n}\)-tki wartość \(\displaystyle{ \frac{L}{P}}\) jest mniejsza niż dla poprzedniej, a więc sprzeczność z założoną minimalnością. A więc taka "minimalna" \(\displaystyle{ n-}\)tka jest postaci \(\displaystyle{ a_1=a_2 = \ldots = a_n}\). Do rozwiązania zadania brakuje więc jedynie nierówności \(\displaystyle{ (1+a)^n \geq \frac{2^n}{n+1}(1+na)}\). Ta jest jednak łatwa do udowodnienia, można to zrobić np. indukcyjnie lub licząc pochodną. Łatwo również sprawdzić, że równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ n=1}\) lub \(\displaystyle{ a=1}\). A więc ogólnie, równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ n=1}\) lub \(\displaystyle{ a_1=a_2=\ldots=a_n=1}\).

[marek12]

zad 10

Ukryta treść:    

takie znalazłem
\(\displaystyle{ p(x) = x^2 +x +1}\) bo \(\displaystyle{ \left \{ 3986,1993,0\right \}=\left \{ 3988,1994,0\right \}= \mathbb{Z}_3}\)

fajne jest zadanie 2 i 5

[kammeleon18]

zad 5

Ukryta treść:    

Jeżeli \(\displaystyle{ a=b}\) to równość jest oczywista.Załóżmy więc że liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są różne.
Otwórzmy nawiasy w równości do udowodnienia. Po przerzuceniu wszystkiego na jedną stronę otrzymujemy\(\displaystyle{ (a^4-b^4)+(a^3-b^3)(c+d+e+f)+(a^2-b^2)(cd+ce+cf+de+df+ef)+(a-b)(cd+ce+cf+de+df+ef)+(cde+cdf+cef+dfe)=0}\)
Dzieląc tą równość przez\(\displaystyle{ (a-b)}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ (a^2+b^2)(a+b)+(a^2+ab+b^2)(c+d+e+f)+(a+b)(cd+ce+cf+de+df+ef)+(cde+cdf+cef+dfe)=0}\)
Otwórzmy nawiasy i wyciągnijmy przed nawias( z tych wyrazów z których się da) \(\displaystyle{ cd}\) i \(\displaystyle{ ef}\), Przepisując to w takiej równoważnej postaci otrzymujemy
\(\displaystyle{ (a^2+b^2)(a+b)+(a^2+ab+b^2)(c+d+e+f) +cd(a+b+e+f) + ef(a+b+c+d)+(a+b)(ce+cf+de+df)=0}\)
Uwzględniając,że \(\displaystyle{ (c+d+e+f)=-(a+b)}\), \(\displaystyle{ (a+b+e+f)=-(c+d)}\) oraz \(\displaystyle{ (a+b+c+d)=-(e+f)}\), oraz \(\displaystyle{ ce+cf+de+df=(c+d)(e+f)}\), otrzymujemy
\(\displaystyle{ ab(a+b)+cd(c+d)+ef(e+f)=(a+b)(c+d)(e+f)}\)
Teraz udowodnię,że prawdziwa jest ta równoważna postać wyjściowej równości.

Korzystając z faktu,że dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y,z}\) takich,że \(\displaystyle{ x+y+z=0}\) zachodzi
\(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3=3xyz}\) otrzymujemy że \(\displaystyle{ (a+b)^3+(c+d)^3+(e+f)^3=3(a+b)(c+d)(e+f)}\), co po otworzeniu nawiasów i uwzględnieniu że \(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3+d^3+e^3+f^3=0}\) daje nam,że \(\displaystyle{ ab(a+b)+cd(c+d)+ef(e+f)=(a+b)(c+d)(e+f)}\)

c.n.d.

[Inkwizytor]

Uzasadnienie: Dlaczego nie da się wybrać liczb z większym minimum?
musimy wybrać choć jedną liczbę z wiersza 3go,
musimy wybrać 18, ponieważ każdy inny wybór da wynik gorszy niż 15;

Trochę to słabe uzasadnienie bo musisz znać rozwiązanie żeby wiedziec że 15 jest naszym ograniczeniem
Znalazłem na to algorytm:
ZAD 2

Ukryta treść:    

1. Elementy w macierzy skreślamy od najmniejszej wartości rosnąco.
2. Czynność wykonujemy tak długo, w co najmniej jednej kolumnie lub wierszu nie zostanie 1 element i go zakreślamy.
3. W naszym przypadku wykreślamy kolejno liczby od 1 do 14
4. W wierszu III zostaje tylko element nr 18
5. Musimy wykreślić element 16 i 22 z kolumny V
6. W wierszu IV zostaje tylko 23 ktore zakreślamy
7. Wykreślamy zatem 24 z kolumny I
8. Zakreślamy 15 z wiersza II
9. Wykreślamy 19 i 21 z kolumny IV
10. I finiszujemy 20, skreślamy 17 i zostaje 25

[Elvis]

A propos 6:

Ukryta treść:    

Być może coś mi się poplątało, ale nierówność \(\displaystyle{ (1+x)(1+y) > \left( 1+\frac{x+y}{2} \right)^2}\) zachodzi w drugą stronę (bo to jest równoważne \(\displaystyle{ (x-y)^2 < 0}\)).



Inaczej:
Niech \(\displaystyle{ b_i = \frac{a_i - 1}{2}}\); \(\displaystyle{ b_i \geq 0}\). Po podstawieniu do naszej nierówności i uproszczeniu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (b_1 + 1) \ldots (b_n + 1) \geq 1 + \frac{2}{n+1}(b_1 + \ldots b_n)}\)
Nierówność jest prawdziwa ze względu na nieujemność \(\displaystyle{ b_i}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{2}{n+1} \leq 1}\) (po prostu po lewej jest to samo, co po prawej, i ewentualnie jeszcze coś).

Gdy \(\displaystyle{ n>1}\) i \(\displaystyle{ b_1+\ldots+b_n>0}\), to \(\displaystyle{ \frac{2}{n+1} < 1}\), więc nierówność jest ostra. Z kolei w przeciwnym przypadku (\(\displaystyle{ n=1}\) lub \(\displaystyle{ b_1=\ldots=b_n=0}\)) zachodzi równość.