[Wielomiany] Wielomian z "Zadania z olimpiad matematycznych"

[satre]

Mam pytanie co do zadania 2.11:
Udowodnij, że jeśli liczby a i b są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ x ^{4} + x^{3}-1}\), to liczba \(\displaystyle{ ab}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x ^{6}+ x^{4} +x ^{3}-x ^{2} -1}\).

Otóż rozwiązanie w książce opiera się na przedstawieniu wielomianu w postaci \(\displaystyle{ (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)}\) i wykorzystaniu wzorów vieta. I tu moje pytanie skąd wiadomo że wielomian ten ma 4 pierwiastki? I czy można sobie tak założyć i rozwiązać w ten sposób zadanie czy trzeba udowodnić istnienie 4 pierwiastków?

Dziękuje za pomoc i pozdrawiam.

[czekoladowy]

Wielomian n-tego stopnia ma n pierwiastkow...

[Swistak]

Wielomian 4 stopnia ma 4 pierwiastki, tylko nie wiadomo, czy wszystkie rzeczywiste, mogą być też zespolone. A jeżeli ma 4 rzeczywiste, to można na chama poszukać jakichś przedziałów, w których ten wielomian ma pierwiastek (czyli takich, że w jednym końcu wartość dodatnia, a w drugim ujemna).
Jednak jeżeli ten dowód nie był przeprowadzony i rachunki, które tam są nie przechodzą na zespolonych, to istotnie jest tam blef (a przynajmniej istotnie niekompletne).

[Panda]

Jest to wtedy blef, ponieważ ten wielomian ma tylko dwa pierwiastki rzeczywiste

Kod: Zaznacz cały

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^4+%2B+x^3+-+1

(forum nie lubi wolframa)

Zatem na pewno mowa o zespolonych, szczególnie, że podobno teza działa także biorąc pod uwagę pierwiastki zespolone.

Nie wiem czy się komuś przyda (wątpię), ale ten drugi wielomian można sprowadzić do 3 stopnia po podstawieniu \(\displaystyle{ t = x - \frac{1}{x}}\).

[Sylwek]

Co takiego tam może być użyte, żeby podejrzewać to o blef? Z resztą nie powiedziano, jakie to pierwiastki \(\displaystyle{ a,b}\) - przecież pierwiastków zespolonych wielomianu 4-tego stopnia jest 4.

Fajne zadanie na pomyślenie, co musi być, aby teza była spełniona. Mamy dwa pierwiastki rzeczywiste: \(\displaystyle{ a,b}\), dwa nierzeczywiste: \(\displaystyle{ c,d}\), tutaj nawet wszystkie parami różne. Zatem jeśli założymy, że \(\displaystyle{ ab \neq cd}\), \(\displaystyle{ ac \neq bd}\) oraz \(\displaystyle{ ad \neq bc}\) (to jest łatwe do sprawdzenia szacując \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) i korzystając z tego, że \(\displaystyle{ d}\) jest sprzężone do \(\displaystyle{ c}\)), więc jeśli teza byłaby prawdziwa, a zadanie nie wyróżniało żadnej z \(\displaystyle{ \binom{4}{2}}\) par pierwiastków, to nasz poniższy wielomian 6-tego stopnia powinien być równy: \(\displaystyle{ x ^{6}+ x^{4} +x ^{3}-x ^{2} - 1=(x-ab)(x-ac)(x-ad)(x-bc)(x-bd)(x-cd)}\)

No a to nic innego, jak wzory Viete'a, można przepałować, można coś szukać, pozwijać, co by nie liczyć każdego współczynnika osobno - pewnie w książce jest podobny sposób.

P.S. Oczywiście jak domyślimy się, co wystarczy pokazać, aby teza była prawdziwa, wcale nie musimy sprawdzać tego, o czym wspomniałem w nawiasie

[arek1357]

Najlepiej obliczyć pierwiastki równania:

\(\displaystyle{ x^{4}+x^{3}-1=0}\)

[czekoladowy]

Życzę powodzenia Arku.

[arek1357]

Heh taak ale to był żart wiem!(po prostu angielski humor)

Super wychodzi na wzorach Viete'a.