[MIX] Kilka zadań na deszczowe wieczory

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

[MIX] Kilka zadań na deszczowe wieczory

Post autor: ares41 » 28 lip 2011, o 16:36

1. Znaleźć największą liczbę całkowitą \(\displaystyle{ A}\), taką, że dla każdej permutacji zbioru liczb naturalnych nie większych od \(\displaystyle{ 100}\) suma pewnych \(\displaystyle{ 10}\) kolejnych wyrazów jest co najmniej równa \(\displaystyle{ A}\).

2. Niech \(\displaystyle{ X_n \text{ i } Y_n}\) będą niezależnymi zdarzeniami losowymi o tym samym rozkładzie:
\(\displaystyle{ \left\{ \left( \frac{k}{2^n}, \frac{1}{2^n} \right) : k=0,1,...,2^{n-1} \right\}}\)
Oznaczamy przez \(\displaystyle{ p_n}\) prawdopodobieństwo zdarzenia, że istnieje liczba rzeczywista \(\displaystyle{ t}\) spełniająca równanie \(\displaystyle{ t^2+X_n \cdot t+Y_n=0}\).

Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } p_n}\).

3. Łososie płynąc w górę rzeki muszą pokonać dwa wodospady. Prawdopodobieństwo, że łosoś pokona pierwszy wodospad w danej próbie, wynosi \(\displaystyle{ p>0}\), a prawdopodobieństwo pokonania drugiego wodospadu w danej próbie wynosi \(\displaystyle{ q>0}\). Zakładamy, że kolejne próby forsowania wodospadów są niezależne. Obliczyć prawdopodobieństwo, że łosoś nie przebędzie pierwszego wodospadu w \(\displaystyle{ n}\) próbach pod warunkiem, że w \(\displaystyle{ n}\) próbach nie pokona obu wodospadów.

4. Dla ustalonej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \ge 2}\) określamy:
\(\displaystyle{ x_1=n, \ \ y_1=1, \ \ x_{i+1}= \left[ \frac{1}{2}(x_i+y_i) \right], \ \ y_{i+1}= \left[ \frac{n}{x_{i+1}} \right]}\).
Dowieść, że \(\displaystyle{ \text{min}\{x_1, x_2,...,x_n\}=\left[\sqrt{n} \right]}\)

5. Znaleźć najmniejszą wartość funkcji określonej w zbiorze liczb rzeczywistych następujacym wzorem
\(\displaystyle{ f(t)= \sum_{i=1}^{n} \frac{ \sqrt{|x_i-t|} }{2^i}}\)

6. Doświadczenie polega na wykonaniu \(\displaystyle{ n}\) niezależnych prób. Prawdopodobieństwo pozytywnego wyniku w \(\displaystyle{ \text{i-tej}}\) próbie wynosi \(\displaystyle{ p_i}\). Niech \(\displaystyle{ r_k}\) będzie prawdopodobieństwem tego, że dokładnie \(\displaystyle{ k}\) prób da wynik pozytywny. udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}p_i= \sum_{k=0}^{n}kr_k}\)

7. Na płaszczyźnie dany jest zbiór \(\displaystyle{ M}\) punktów o następujących własnościach:
\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Punkty zbioru \(\displaystyle{ M}\) nie leżą na jednej prostej.
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Jeżeli punkty \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) są wierzchołkami równoległoboku oraz \(\displaystyle{ A,B,C \in M}\) to \(\displaystyle{ D \in M}\)
\(\displaystyle{ 3^{\circ}}\) Jeżeli \(\displaystyle{ A,B \in M}\), to \(\displaystyle{ AB \ge 1}\)

Udowodnić, że istnieją takie dwie rodziny prostych równoległych, że \(\displaystyle{ M}\) jest zbiorem przecięcia wszystkich punktów przecięcia prostych pierwszej rodziny z prostymi drugiej rodziny.

8. Prostopadłościenne pudełko można całkowicie wypełnić sześcianami jednostkowymi. Jeżeli będziemy umieszczać w nim sześciany o objętości \(\displaystyle{ 2}\) i krawędziach równoległych do krawędzi pudełka, to maksymalna liczba takich sześcianów wypełni tylko \(\displaystyle{ 40\%}\) pudełka. Wyznaczyć wymiary wewnętrzne tego pudełka.

9. Dowieść, że suma kwadratów wzajemnych odległości \(\displaystyle{ n}\) punktów na sferze jednostkowej nie przekracza \(\displaystyle{ n^2}\)

10 Dla danego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) obliczyć liczbę liczb całkowitych \(\displaystyle{ x}\) z przedziału \(\displaystyle{ \left[ 1;n \right]}\), dla których \(\displaystyle{ x^3-x}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ n}\).

\(\displaystyle{ \hline}\)
Uwagi dotyczące zadań proszę kierować na PW

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[MIX] Kilka zadań na deszczowe wieczory

Post autor: Swistak » 28 lip 2011, o 21:29

zad.9:    

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

[MIX] Kilka zadań na deszczowe wieczory

Post autor: » 28 lip 2011, o 23:46

Zadanie 6:    
Q.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6098
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2531 razy
Pomógł: 671 razy

[MIX] Kilka zadań na deszczowe wieczory

Post autor: mol_ksiazkowy » 16 sie 2011, o 12:44

ad 1
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6098
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2531 razy
Pomógł: 671 razy

[MIX] Kilka zadań na deszczowe wieczory

Post autor: mol_ksiazkowy » 27 mar 2013, o 16:30

Quote
4. Dla ustalonej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \ge 2}\) określamy:
\(\displaystyle{ x_1=n, \ \ y_1=1, \ \ x_{i+1}= \left[ \frac{1}{2}(x_i+y_i) \right], \ \ y_{i+1}= \left[ \frac{n}{x_{i+1}} \right]}\).
Dowieść, że \(\displaystyle{ \text{min}\{x_1, x_2,...,x_n\}=\left[\sqrt{n} \right]}\)
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6098
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2531 razy
Pomógł: 671 razy

[MIX] Kilka zadań na deszczowe wieczory

Post autor: mol_ksiazkowy » 29 mar 2016, o 12:11

Jeszcze jeden zaniedbany Mix...
3

Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

[MIX] Kilka zadań na deszczowe wieczory

Post autor: Zahion » 29 mar 2016, o 12:18

10

dec1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 714
Rejestracja: 21 mar 2016, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 191 razy

[MIX] Kilka zadań na deszczowe wieczory

Post autor: dec1 » 29 mar 2016, o 12:52


ODPOWIEDZ