[Równania funkcyjne] Równanie funkcyjne (surjekcja)

Sir George · Post autor: **Sir George** » 24 mar 2009, o 20:10

Znaleźć wszystkie surjekcje rzeczywiste (tj. funkcje przekształcające \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)), które dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y\in\mathbb{R}}\) spełniają równanie funkcyjne:
\(\displaystyle{ f(x)\,f(y)\ =\ f\big(y\,f(x)\big)}\)

XMaS11 · Post autor: **XMaS11** » 24 mar 2009, o 20:36

Odp. \(\displaystyle{ f(x)=ax}\).
Oznaczmy \(\displaystyle{ f(1)=a}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest suriekcją, to dla dowolnego rzeczywistego \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ xf(y)=f(xy)}\).
W szczególności
\(\displaystyle{ ax=f(x)}\).
Funkcje zadane wzorem \(\displaystyle{ f(x)=ax}\) spełniają nasze równanie.

TomciO · Post autor: **TomciO** » 26 mar 2009, o 01:42

XMaS11 pisze: Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest suriekcją, to dla dowolnego rzeczywistego \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ xf(y)=f(xy)}\).

?

Dumel · Post autor: **Dumel** » 26 mar 2009, o 15:20

TomiO co Ci sie w tym nie podoba? skoro f jest surjekcją to dla kazdego x istnieje A takie ze \(\displaystyle{ f(A)=x}\). podstawiajac \(\displaystyle{ x:=A}\) mamy te rownosc

XMaS11 · Post autor: **XMaS11** » 26 mar 2009, o 18:31

Przepraszam, to moja wina, nie napisałem bezpośrednio skąd to wynika, dzięki Dumel za wsparcie

Sir George · Post autor: **Sir George** » 27 mar 2009, o 11:46

Brawo XMaS11, mniej więcej o to mi chodziło. Nie byłem tylko świadomy, że jest to takie proste.

A teraz lekko skomplikuję problem: Znaleźć wszystkie funkcje rzeczywiste \(\displaystyle{ f\,:\,\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+}\) spełniające to samo równanie funkcyjne (tj. \(\displaystyle{ \,f(x)\,f(y)\,=\,f\big(y\,f(x)\big)\,}\) ). Uwaga, tu już nie wymagamy, aby funkcja była surjekcją, a jedynie by liczby dodatnie przekształcała na dodatnie!