[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 1 seria.

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 1 seria.

Post autor: » 3 gru 2009, o 00:32

Znalazłem w starych papierach kartkę z kółka matematycznego H. Pawłowskiego, z zadaniami które przygotował nam w ramach treningu przed drugim etapem L Olimpiady Matematycznej. Ponieważ nie sądzę, by pan Pawłowski miał coś przeciwko, pozwolę sobie zamieścić je na forum, bo trening na pewno się wielu osobom przyda (mi się wtedy przydał ;) ). Link do drugiej serii Link do trzeciej serii Link do serii przedfinałowej (zadania, których pełne rozwiązania zostały podane, są zaznaczone na zielono) Zadanie 1 - rozwiązane przez jerzozwierza Ciąg \((a_n)\) jest określony następująco: \(a_1=1, a_{n+1}=a_n^3+1\) dla \(n=1,2,3, \dots\) Rozstrzygnij które wyrazy tego ciągu są podzielne przez \(1998\). Zadanie 2 - rozwiązane przez binaja W czworościanie \(ABCD\) mamy dane: \(|AB|=|CD|=p, |AC|=|BD|=q, |AD|=|BC|=r\). Punkty \(K\) i \(L\) są środkami odpowiednio krawędzi \(AB\) i \(CD\). Na odcinku \(KL\) znajdź takie punkty \(E\) i \(F\), dla których suma \(|AE|^2+|EF|^2+|FC|^2\) osiąga wartość najmniejszą. Zadanie 3 - rozwiązane przez Świstaka Wewnątrz równoległoboku \(ABCD\) obrano punkt \(P\). Wykaż, że \(\sphericalangle APB + \sphericalangle CPD = 180^o\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\sphericalangle PDC = \sphericalangle PBC\). Zadanie 4 - rozwiązane przez klaustrofoba Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(1999^{2^n}-1\) jest podzielna przez \(2^{n+2}\). Uwaga: zachodzi mocniejsza teza: \(2^{n+4}| \left( 1999^{2^n}-1\right)\), na co zwrócił uwagę Kimon. Zadanie 5 - rozwiązane przez SchmudeJanusza, mzs i Qnia Wykaż, że z odcinków długości \(a,b,c\) można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych liczb \(p\) i \(q\) spełniających warunek \(p+q=1\) zachodzi nierówność \(pa^2+qb^2> pqc^2\). Zadanie 6 - rozwiązane przez Dumla i Ponewora Liczby nieujemne \(a,b,c,d\) spełniają warunek \(a+b+c+d=2\). Udowodnij, że \(\frac{a+1}{a^2+1}+ \frac{b+1}{b^2+1}+\frac{c+1}{c^2+1}+\frac{d+1}{d^2+1}\leq \frac{24}{5}\). Zadanie 7 W międzynarodowej konferencji naukowej wzięło udział \(1998\) uczonych. Wśród każdych trzech naukowców co najmniej dwóch włada tym samym językiem, a każdy z uczestników konferencji zna co najwyżej pięć języków. Udowodnij, że co najmniej \(200\) uczonych zna ten sam język. Zadanie 8 - rozwiązanie przez mola książkowego Dana jest liczba całkowita \(a\) oraz liczba pierwsza \(p\). Wykaż, że jeżeli \(p| 5a-1\) i \(p|a-10\), to \(p|a-3\). Zadanie 9 - rozwiązanie przez Sienka Przekątne \(AC\) i \(BD\) czworokąta \(ABCD\) wpisanego w okrąg przecinają się w punkcie \(S\); \(Q\) jest środkiem boku \(AB\), zaś \(P\) i \(R\) są rzutami prostokątnymi punktu \(S\) odpowiednio na proste \(AD\) i \(BC\). Udowodnij, że \(|PQ|=|QR|\). Zadanie 10 - rozwiązane przez binaja, Vaxa i Ponewora Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a,b,c\) zachodzi nierówność: \(\left( 1+\frac{a}{b} \right) \left( 1+\frac{b}{c} \right) \left( 1+\frac{c}{a} \right) \ge 2 \left( 1 +\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \right)\). Zadanie 11 - rozwiązane przez Ponewora Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\): \((1998n)! \le \left( \frac{3995n+1}{2} \cdot \frac{3993n+1}{2} \cdot \frac{3991n+1}{2} \cdot \dots \cdot \frac{n+1}{2} \right)^n\). Zadanie 12 - rozwiązane przez pawelsuza Rozwiąż w liczbach rzeczywistych równanie: \((x+1998)(x+1999)(x+2000)(x+2001)+1=0\). Zadanie 13 - rozwiązane przez timona92 Wyznacz wszystkie funkcje \(f:\mathbb{R} \backslash \{ 0 \} \rightarrow \mathbb{R}\) spełniające warunki: (i) \(f(-x)=f(x)\) dla \(x \neq 0\); (ii)\(f \left( \frac{1}{x+y} \right) = f \left( \frac{1}{x}\right) +f \left(\frac{1}{y} \right) +2(xy-1000)\) dla \(x\neq 0, y\neq 0\), takich, że \(x+y \neq 0\). Zadanie 14 Wyznacz wszystkie liczby naturalne \(n\), dla których prawdziwe jest twierdzenie: Dla każdej liczby naturalnej \(m\) liczba \((1+n)^{n^{m-1}}-n^m -1\) jest podzielna przez \(n^{m+1}\). Zadanie 15 - rozwiązane przez limesa123 i Dumla Dany jest zbiór \(n\)-elementowy \(A\) oraz jego podzbiory \(A_1,A_2, \dots , A_m\), z których żaden nie zawiera się w drugim. Udowodnij, że: \(1^o\) \(\sum_{i=1}^{m} \frac{1}{{n \choose |A_i|}} \leq 1\); \(2^o\) \(\sum_{i=1}^{m} {n \choose |A_i|} \geq m^2\). Zadanie 16 - rozwiązane przez mola książkowego Wyznacz wszystkie liczby pierwsze \(p\), dla których układ równań \(\begin{cases} 2x^2=p+1 \\ 2y^2 = p^2+1 \end{cases}\) ma rozwiązanie w liczbach całkowitych \(x,y\). Zadanie 17 - rozwiązane przez mola książkowego Dodatnie liczby \(a,b,c\) spełniają warunek \(abc=1\). Wykaż, że: \(\frac{1+ab}{1+a}+\frac{1+bc}{1+b}+\frac{1+ca}{1+c} \geq 3\) . Zadanie 18 - rozwiązane przez timona92 Styczna do okręgu wpisanego w trójkąt \(ABC\), równoległa doboku \(BC\), przecina boki \(AB\) i \(CA\) tego trójkąta odpowiednio w punktach\(D\) i \(E\). Udowodnij, że: \(8|DE| \leq |AB|+|BC|+|CA|\) . Zadanie 19 Ciąg \((x_n)\) określony jest następująco: \(x_1=1\) \(x_{n+1}=\frac{n^2}{x_n}+\frac{x_n}{n^2} +2\) dla \(n=1,2,3, \dots\) . Wykaż, że \(\lfloor x_n \rfloor =n\) dla każdego \(n \geq 4\). Zadanie 20 - rozwiązane przez WC Pikera Rozwiąż w liczbach nieujemnych \(x,y\) układ równań: \(\begin{cases} 2^{x^4+y^2} +2^{x^2+y^4}=8 \\ x+y=2 \end{cases}\) . Zadanie 21 - rozwiązanie podane przez JanuszaSchmude Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a_1,a_2, \dots , a_n\) oraz \(b_1,b_2, \dots ,b_n\) zachodzi nierówność: \(n \left( \sum_{i=1}^{n}a_ib_i + \sqrt{ \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) } \right) \geq 2 \left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right) \left( \sum_{i=1}^{n}b_i \right)\) . Zadanie 22 - rozwiązane przez Dumla i timona92 Wykaż, że dla dowolnych liczb wymiernych \(p,q,r\) zachodzi nierówność: \(\left(1 + \frac{p+q}{r} \right)^r \left(1 + \frac{q+r}{p} \right)^p\left(1 + \frac{r+p}{q} \right)^q \leq 3^{p+q+r}\) . Zadanie 23 - rozwiązane przez mola książkowego i timona92 Udowodnij, że jeżeli dodatnie liczby wymierne \(a,b,c\) są długościami boków trójkąta, to: \(\left( 1+ \frac{a-b}{c}\right)^c \left( 1+ \frac{b-c}{a}\right)^a \left( 1+ \frac{c-a}{b}\right)^b \leq 1\) . Zadanie 24 - rozwiązane przez timona92 Na bokach \(BC\) i \(CD\) kwadratu \(ABCD\) obrano odpowiednio takie punkty \(P\) i \(Q\), że prosta \(PQ\) jest styczna do okręgu o środku \(A\) i promieniu \(AB\). Odcinki \(AP\) i \(AQ\) przecinają przekątną \(BD\) w punktach \(R\) i \(S\). Wykaż, że punkty \(C,P,Q,R,S\) leżą na jednym okręgu. Zadanie 25 - rozwiązane przez WC Pikera Wykaż, że jeżeli \(x_1, x_2 \dots , x_9 \in <0;2>\), zaś \(y_1,y_2, \dots , y_9 \in <0;4>\), to dla pewnych \(1 \leq i \neq j \leq 9\) \((x_i-x_j)^2 + (y_i-y_j)^2 \leq 2\) . Zadanie 26 - rozwiązane przez pawelsuza Ciąg \((a_n)\) jest określony następująco: \(a_1=19, a_2 =98\), \(a_{n+2}\) jest resztą z dzielenia przez \(100\) liczby \(a_n+a_{n+1}\), dla \(n=1,2,3, \dots\). Udowodnij, że suma: \(a_1^2+a_2^2+\dots + a_{1998}^2\) jest podzielna przez \(8\). Powodzenia! Q.
Ostatnio zmieniony 6 gru 2009, o 23:09 przez , łącznie zmieniany 3 razy.

mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5843
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 1 seria.

Post autor: mol_ksiazkowy » 3 gru 2009, o 02:09

8
Ukryta treść:    
17
Ukryta treść:    
23
Ukryta treść:    

WC Piker
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 26 lis 2009, o 14:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: za klozetem

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 1 seria.

Post autor: WC Piker » 3 gru 2009, o 08:52

25.
Ukryta treść:    
20.
Ukryta treść:    

Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 1 seria.

Post autor: Dumel » 3 gru 2009, o 12:56

Ukryta treść:    

mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5843
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 1 seria.

Post autor: mol_ksiazkowy » 3 gru 2009, o 14:18

16
Ukryta treść:    

Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 1 seria.

Post autor: Dumel » 3 gru 2009, o 14:25

Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 1 seria.

Post autor: klaustrofob » 3 gru 2009, o 15:42

Zad. 4
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 3 gru 2009, o 16:34 przez klaustrofob, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 1 seria.

Post autor: timon92 » 3 gru 2009, o 16:10

Ukryta treść:    
Ukryta treść:    
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 3 gru 2009, o 18:29 przez timon92, łącznie zmieniany 1 raz.

pawelsuz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 569
Rejestracja: 15 gru 2008, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BK

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 1 seria.

Post autor: pawelsuz » 3 gru 2009, o 18:28

Tutaj były bzdury:d
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 4 gru 2009, o 15:13 przez pawelsuz, łącznie zmieniany 1 raz.

Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 1 seria.

Post autor: Dumel » 3 gru 2009, o 19:08

czy treść zadania 7. jest ok? pytam bo nie dość że to zadanie jest bardzo łatwe, to jeszcze teza jest strasznie słaba. a mój nick w bierniku odmienia się: Dumla

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 1 seria.

Post autor: Swistak » 3 gru 2009, o 19:23

3 to dość stare.
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
jerzozwierz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 526
Rejestracja: 22 lut 2009, o 10:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 1 seria.

Post autor: jerzozwierz » 3 gru 2009, o 19:46

Zad. 1
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 1 seria.

Post autor: timon92 » 3 gru 2009, o 21:02

Ukryta treść:    

qwass
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 116
Rejestracja: 1 lut 2008, o 16:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nikąd

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 1 seria.

Post autor: qwass » 3 gru 2009, o 22:16

Ktoś może pokazac zastosowanie Jensena w 23, bo molu nie rozwinął a za bardzo nie widzę

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 1 seria.

Post autor: » 4 gru 2009, o 00:38

czy treść zadania 7. jest ok?
Przepisałem z kartki chyba dobrze (nie mogę sprawdzić, bo gdzieś się zapodziała), ale nie wykluczam, że w zadaniu jest jakiś błąd.
a mój nick w bierniku odmienia się: Dumla
Ok, pardą, ale reguły języka polskiego nie rozstrzygają tego jednoznacznie, a nie mogłem wiedzieć jaką formę wolisz ;).
Ktoś może pokazac zastosowanie Jensena w 23, bo molu nie rozwinął a za bardzo nie widzę
Ponieważ \(f(x)= \ln x\) jest wklęsła, więc dla sumujących się do jedynki dodatnich wag \(p,q,r\) mamy: \(p \ln x +q \ln y + r\ln z \leq \ln (px+qy+rz)\) Wystarczy teraz przyjąć wagi \(p=\frac{c}{a+b+c}, q=\frac{a}{a+b+c},r=\frac{b}{a+b+c}\) oraz \(x=\frac{a-b+c}{c}, y = \frac{a+b-c}{a}, z =\frac{-a+b+c}{b}\), by otrzymać żądaną nierówność.
Wystarczy teraz zauważyć, że \(2 \left( 1 +\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \right) \le 2(1+ \frac{3 \sqrt[3]{abc} }{ \sqrt[3]{abc} })\)
Na pewno w dobrą stronę ta nierówność? ;)
Przesuwamy trójkąt APB o wektor AC (no, w dobrą stronę xp)
Chyba o \(AD\). No i nie można przesunąć o jakiś wektor w "złą stronę", bo stronę tenże wektor wyznacza ;). Q.

ODPOWIEDZ