[Teoria liczb] Sumy potęg dwójki

[coldplayer]

Potrzebuję mały lemacik, ale nie wiem jak go udowodnić.. może nawet jest takie twierdzenie tylko o nim nie wiem, chodzi oto że należy wykazać że suma jakiejkolwiek liczby RÓŻNYCH potęg dwójki jest zawsze różna od jakiejkolwiek sumy różnych innych potęg dwójki (innych tzn. ze jak jedna się będzie różnić to już suma będzie inna).

[Sylwek]

Gdyby takie liczby a,b o różnym rozkładzie istniały, to istniałyby także takie liczby x,y (x=y), powstałe odpowiednio z odjęcia od a,b wszystkich liczb postaci \(\displaystyle{ 2^k}\), które występują zarówno w sumie a i b. Niech najwyższa potęga dwójki występująca w sumie potęg dwójki składających się na \(\displaystyle{ x}\) to \(\displaystyle{ 2^t}\), a najwyższa potęga dwójki występująca w sumie potęg dwójki składających się na \(\displaystyle{ y}\) to \(\displaystyle{ 2^m}\) i niech dla ustalenia uwagi \(\displaystyle{ t>m}\). Stąd:

\(\displaystyle{ x \ge 2^t > 2^t-1 = 2^{t-1}+2^{t-2}+\ldots+2+1 \ge 2^m+2^{m-1}+\ldots+2+1 \ge y}\)

Czyli x>y - sprzeczność.

A w skrócie lemat możemy wywnioskować z jednoznaczności przedstawienia każdej liczby rzeczywistej w danym systemie pozycyjnym, w tym wypadku jest to system binarny (dwójkowy ).