maksimum iloczynu

[rochaj]

Niech \(\displaystyle{ x,y\in R}\) tak że \(\displaystyle{ x+y=3(\sqrt{x-2}+\sqrt{y+1}-1).}\) Znaleźć maksimum \(\displaystyle{ xy}\).

[Igor V]

Najłatwiej chyba (a na pewno najbardziej pałowo) metodą mnożników Lagrange'a liczenia ekstremów funkcji.

[rochaj]

Najłatwiej chyba (a na pewno najbardziej pałowo) metodą mnożników Lagrange'a liczenia ekstremów funkcji.

Raczej bez pałowania

[bosa_Nike]

Wyszło mi \(\displaystyle{ 18}\). Jeżeli jest to ktoś w stanie zweryfikować, to bardzo proszę, bo robiłam trochę z doskoku i mogłam coś ściemnić.

Ukryta treść:    

Musimy mieć \(\displaystyle{ x-2\ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ y+1\ge 0}\), tzn. \(\displaystyle{ x+y-1\ge 0}\). Dalej Cauchy-Schwarz:

\(\displaystyle{ \left(x+y-1\right)+4=3\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{y+1}\right)\le 3\sqrt{(x-2+y+1)(1+1)}=3\sqrt{2(x+y-1)}}\)

Potrzebujemy tam równości, czyli \(\displaystyle{ x-2=y+1\ \implies\ x-y=3}\).

Z \(\displaystyle{ (x+y-1)^2-10(x+y-1)+16=0}\) mamy, że większe \(\displaystyle{ x+y=9}\) - potrzebujemy większego, bo \(\displaystyle{ xy=\frac{(x+y)^2}{4}-\frac{(x-y)^2}{4}}\). Stąd największe \(\displaystyle{ xy=18}\).

[bosa_Nike]

Dobra, oczywiście (i niestety) \(\displaystyle{ \uparrow}\) jest całkowicie źle, policzyłam przecież wartość iloczynu przy maksymalnej sumie, a nie maksymalną wartość iloczynu.
Jeszcze pokombinuję, jak znajdę czas, na razie po podstawieniach to się transformuje do znalezienia maksimum \(\displaystyle{ \left(t^2+3t+\frac{17}{4}\right)\left(u^2+3u+\frac{5}{4}\right)}\) przy warunku \(\displaystyle{ t^2+u^2=\frac{1}{2}}\) i numerycznie jest ok. \(\displaystyle{ 18.83}\), może coś to da.