[MIX][Planimetria] Punktem w Dwuwymiarze było niegdyś się... - zestaw zadań

[Brycho]

Czasy się zmieniają, ludzie się zmieniają, trendy zadań również.
Przywołuję w tym temacie zestaw siedmiu zadań typu:
(opis pewnego zjawiska geometrycznego na płaszczyźnie)... Jaki zbiór tworzą punkty o podanej własności?
Ta rodzina problemów jest w dzisiejszych czasach, moim zdaniem, zapomniana, mimo, iż owe zagadnienia są bardzo ciekawe i twórcze.
Z owymi 7-oma zadaniami zmagali się czescy olimpijczycy w latach 1952 - 1970.
Oto one:

\(\displaystyle{ 1.}\) Odcinek \(\displaystyle{ AB}\) o długości \(\displaystyle{ d}\) porusza się w ten sposób, że jego dwa końce są na dwu prostopadłych prostych.
Jaką krzywą wykreśli punkt \(\displaystyle{ X}\) taki, że dla danego \(\displaystyle{ \lambda \in \mathbb R_{+}}\) zachodzi \(\displaystyle{ XA=XB \cdot \lambda}\) ?

\(\displaystyle{ 2.}\) Na płaszczyźnie dane są dwa punkty \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) i dwa kąty wypukłe \(\displaystyle{ \alpha}\) , \(\displaystyle{ \beta}\) . Punkt \(\displaystyle{ X}\) płaszczyzny obrócimy dookoła punktu \(\displaystyle{ A}\) o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) w dowolnym kierunku do położenia \(\displaystyle{ X^{'}}\), potem wokół punktu \(\displaystyle{ B}\) o kąt \(\displaystyle{ \beta}\) w dowolnym kierunku do położenia \(\displaystyle{ X^{''}}\)
Jaki zbiór tworzą wszystkie punkty \(\displaystyle{ X}\), dla których odcinek \(\displaystyle{ X^{'}X^{''}}\)ma daną długość \(\displaystyle{ d>0}\) ?

\(\displaystyle{ 3.}\) Oznaczmy przez \(\displaystyle{ Y}\) punkt łuku danego półokręgu \(\displaystyle{ AB}\). Na półprostej \(\displaystyle{ YA}\) skonstruowano taki punkt \(\displaystyle{ X}\), że zachodzi \(\displaystyle{ YX=YB}\)
Jaki zbiór tworzą wszystkie punkty \(\displaystyle{ X}\), jeżeli punkt \(\displaystyle{ Y}\) przebiega przez wszystkie punkty tego łuku?

\(\displaystyle{ 4.}\) Dany jest okrąg i na nim dwa różne punkty \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\). Rozpatrujemy trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\), gdzie \(\displaystyle{ C}\) jest punktem tego okręgu . Oznaczmy przez \(\displaystyle{ X}\) punkt przecięcia wysokości tego trójkąta.
Jaki zbiór tworzą punkty \(\displaystyle{ X}\), gdy punkt \(\displaystyle{ C}\) przebiega przez wszystkie punkty tego okręgu za wyjątkiem punktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)?

\(\displaystyle{ 5.}\) Dany jest kwadrat i pewien punkt \(\displaystyle{ Q}\), który nie leży na brzegu tego kwadratu. Niech \(\displaystyle{ P}\) jest dowolnym punktem na brzegu kwadratu. Na odcinku \(\displaystyle{ QP}\) budujemy trójkąt równoboczny \(\displaystyle{ PQX}\)
Jaki zbiór tworzą punkty \(\displaystyle{ X}\), gdy punkt \(\displaystyle{ P}\) przebiega przez przez wszystkie punkty tego brzegu ?
Moja uwaga: Nie jest podane , czy punkt \(\displaystyle{ X}\) jest skierowany do środka , czy na zewnątrz kwadratu, zatem można znaleźć dwa zbiory.

\(\displaystyle{ 6.}\) Dany są dwa różne punkty \(\displaystyle{ M}\), \(\displaystyle{ N}\) i prosta przez nie przechodząca. Rozpatrujemy pary okręgów \(\displaystyle{ o_{1}}\), \(\displaystyle{ o_{2}}\), które są styczne do prostej \(\displaystyle{ \overline{MN}}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) oraz są do siebie zewnętrznie styczne. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ X}\) środek odcinka \(\displaystyle{ PQ}\), gdzie \(\displaystyle{ P}\), \(\displaystyle{ Q}\) są punktami styczności drugiej zewnętrznej stycznej okręgów \(\displaystyle{ o_{1}}\), \(\displaystyle{ o_{2}}\) ( \(\displaystyle{ P}\) jest styczny do \(\displaystyle{ o_{1}}\) , zaś \(\displaystyle{ Q}\) do \(\displaystyle{ o_{2}}\) ).
Jaki zbiór tworzą punkty \(\displaystyle{ X}\) dla wszystkich par okręgów o podanej własności?
Moja uwaga: Wydaje się najcięższe z wszystkich.

\(\displaystyle{ 7.}\) Dane są punkt \(\displaystyle{ M}\), prosta \(\displaystyle{ l}\) oraz wektor \(\displaystyle{ \vec{p}}\) . Symetria względem prostej \(\displaystyle{ l}\) przekształca dowolny punkt \(\displaystyle{ X}\) w \(\displaystyle{ X^{'}}\),
zaś przesuniecie \(\displaystyle{ \vec{p}}\) przekształca \(\displaystyle{ X^{'}}\) w \(\displaystyle{ X^{''}}\).
Jaki zbiór tworzą punkty \(\displaystyle{ X}\), dla których punkty \(\displaystyle{ M}\), \(\displaystyle{ X}\), \(\displaystyle{ X^{''}}\) są współliniowe?

[timon92]

3.

Ukryta treść:    

Obróćmy \(\displaystyle{ B}\) wokół \(\displaystyle{ A}\) o kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) zgodnie ze wskazówkami zegara otrzymując punkt \(\displaystyle{ B'}\). Odpowiedź to półokrąg \(\displaystyle{ B'B}\)

4.

Ukryta treść:    

jest to okrąg z zadania odbity symetrycznie względem prostej AB

5.

Ukryta treść:    

Oznaczmy ten kwadrat przez K. Obróćmy kwadrat K wokół Q o kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) zgodnie i przeciwnie ze wskazówkami zegara otrzymując kwadraty K', K''. Odpowiedź to \(\displaystyle{ K' \cup K''}\)

6. rozumiem, że okręgi \(\displaystyle{ o_1, o_2}\) leżą po jednej stronie prostej MN (w przeciwnym wypadku określenie "druga styczna zewnętrzna" nie ma większego sensu)

Ukryta treść:    

odpowiedź: cała płaszczyzna bez kół o środkach \(\displaystyle{ M,N}\) i promieniach \(\displaystyle{ \frac{1}{2} MN}\)

[Brycho]

Sorry timon92, , zapomniałem dopisać , że w \(\displaystyle{ 6.}\) ma być jeszcze : \(\displaystyle{ o_{1}}\) jest styczne zewnętrznie do \(\displaystyle{ o_{2}}\)

[timon92]

no to w takim razie: 6.

Ukryta treść:    

Niech Y będzie środkiem odcinka MN. odpowiedź: okrąg o środku w Y i promieniu MN

[arek1357]

A zadanie 7 będzie to hiperbola