[Teoria liczb] mocnia

[mol_ksiazkowy]

Zbadaj fakt: czy prawda jest i pzry jakich załozeniach , iz liczba N jest podzielna przez m, gdzi symbol tu uzyty oznacza iloczyn wszystkich liczb mniejszych od i tej samej co ona parzystości....tj

N= n!! + (n+1)!!
m=n+2

n!! = n(n-2)(n-4)....

[arek1357]

z moich obserwacji będzie to dla niektórych liczb pierwszych
zachodzi to w niektórych ciałach modulo p gdzie p l pierwsza
ale nie dla wszystkich p
można tę nierównośc zapisać tak:
(p-1)!! + (p-2)!!=0 (oczywiście w modulo)
niech (p-2)!!=x
czyli:
\(\displaystyle{ (p-1)!!=\frac{(p-1)!}{x}}\)

czyli:

\(\displaystyle{ \frac{(p-1)!}{x} +x=0}\)

ale (p-1)!+1=0

(p-1)!=-1

czyli:

\(\displaystyle{ \frac{-1}{x} +x=0}\)
a z tego:

\(\displaystyle{ x^{2}=1}\)


pamiętając czym jest x trza szukać takich ciał modulo gdzie

ten iloczyn =1

na razie znalazłem dla p=7 i p=11

mmoże komuś się bardziej poszczęści hihi...

[limes123]

Jeśli n jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ N=(n)!!+(n+1)!!=(n)!!+((n+2)-1)((n+2)-3)...=(1\cdot 3\cdot ... (n-1))+A+((-1)\cdot (-3)\cdot ... (1-n))=A}\), ponieważ liczba czynników w nawiasie za A jest nieparzysta, a ponieważ A jest podzielne przez n+2, to twierdzenie zachodzi dla nieparzystych n. Jeśli n jest liczbą parzystą, to N=(2k)!!+(2k+1)!! jest liczbą nieparzystą, a n+2 jest parzyste, czyli podzielność zachodzić nie może. Widzimy zatem, że podzielność zachodzi dla n nieparzystych, a nie zachodzi dla parzystych.

[Sylwek]

Dla parzystych się zgodzę. Dla nieparzystych coś źle zrobiłeś. Zauważmy, że \(\displaystyle{ (n+1)!! \equiv (-1)^{\frac{n+1}{2}} n!! \ (mod \ n+2)}\)



1) Gdy \(\displaystyle{ n+1 \equiv 2 \ (mod \ 4)}\) wówczas: \(\displaystyle{ M \equiv n!! + (-1)^{\frac{n+1}{2}}n!!=(1-1)n!!=0 \ (mod \ n+2)}\), zatem dla każdego n postaci 4k+1 podzielność zachodzi.



2) Gdy \(\displaystyle{ n+1 \equiv 0 \ (mod \ 4)}\) wówczas: \(\displaystyle{ M \equiv n!! + (-1)^{\frac{n+1}{2}}n!! \equiv (1+1)n!! \equiv 2n!! \ (mod \ n+2)}\). Ponieważ m+2 jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ M \equiv 2n!! \equiv 0 \ (mod \ n+2) \ \iff \ n!! \equiv 0 \ (mod \ n+2)}\).

Gdy n+2 jest pierwsze, to podzielność nie zachodzi. Rozpatrzmy też mniejsze przypadki: \(\displaystyle{ n+2=5,9,13,17}\) - tu podzielność też nie zachodzi (tutaj jedynie 9 nie jest liczbą pierwszą).

Dla \(\displaystyle{ n+2 \geqslant 21}\) i będących liczbami złożonymi mamy: \(\displaystyle{ n+2=ab}\), gdzie a,b są liczbami nieparzystymi różnymi od 1 (przy czym staraliśmy się znaleźć taki rozkład, żeby \(\displaystyle{ a\ne b}\). Jeśli a jest różne od b, to w iloczynie \(\displaystyle{ n!!}\) wystąpi zarówno a, jak i b.

Jeśli a=b i jest to jedyny rozkład (np. \(\displaystyle{ 81=3 \cdot 27 = 9^2}\) - w pierwszym rozkładzie teza oczywista, w drugim musimy kombinować), to \(\displaystyle{ n+2}\) jest kwadratem liczby pierwszej \(\displaystyle{ \geqslant 5}\) (bo mniejsze przypadki rozważyliśmy). Czyli \(\displaystyle{ n+2=p^2}\). Ale wówczas w \(\displaystyle{ n!!}\) wystąpi zarówno czynnik \(\displaystyle{ p}\), jak i \(\displaystyle{ 3p}\) - zatem podzielność zachodzi.


Podsumowując podzielność zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy:
(1) \(\displaystyle{ n \equiv 1 \ (mod \ 4)}\)
(2) \(\displaystyle{ n \equiv 3 \ (mod \ 4)}\), przy czym \(\displaystyle{ n \ne 7}\) oraz \(\displaystyle{ n+2}\) jest liczbą złożoną.


P.S. W takich zadaniach warto sobie sprawdzać małe przypadki, wtedy najłatwiej wychwycić błąd.