[Nierówności] nierówność w trójkacie

[rochaj]

Niech dany jest \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) o wysokościach \(\displaystyle{ h_{a},h_{b},h_{c}}\) gdzie \(\displaystyle{ AB=c,BC=a,AC=b}\)
Pokaż ze dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ P}\) wewnatrz tego trójkata mamy

\(\displaystyle{ \sqrt{PA+PB}+\sqrt{PB+PC}+\sqrt{PA+PC}\ge 2\sqrt{h_{a}+h_{b}+h_{c}}}\)

[arek1357]

Rozumiem że \(\displaystyle{ h_{i}}\) - wysokość opuszczona na bok i-ty

Niech:

\(\displaystyle{ PA=x,PB=y,PC=z}\)

\(\displaystyle{ r_{a} -}\) Wysokość trójkąta\(\displaystyle{ BPC}\) , opuszczona na bok \(\displaystyle{ a}\)

\(\displaystyle{ r_{b} -}\) Wysokość trójkąta\(\displaystyle{ APC}\) , opuszczona na bok \(\displaystyle{ b}\)

\(\displaystyle{ r_{c} -}\) Wysokość trójkąta\(\displaystyle{ APB}\) , opuszczona na bok \(\displaystyle{ c}\)

Można zauważyć, że zachodzi:

(*) \(\displaystyle{ x+r_{a} \ge h_{a}}\)

(*) \(\displaystyle{ y+r_{b} \ge h_{b}}\)

(*) \(\displaystyle{ z+r_{c} \ge h_{c}}\)

(**) \(\displaystyle{ x+y+z \ge 2(r_{a}+r_{b}+r_{c})}\) (nierówność jakaś tam)

Przepiszmy nierówność:

\(\displaystyle{ \sqrt{x+y} +\sqrt{x+z} +\sqrt{y+z} \ge 2 \sqrt{h_{a}+h_{b}+h_{c}}}\)

Po podniesieniu do kwadratu otrzymamy:

\(\displaystyle{ 2(x+y+z)+2 \sum_{}^{} \sqrt{ } \sqrt{ } \ge 4(h_{a}+h_{b}+h_{c})}\)

biorąc pod uwagę (**)

\(\displaystyle{ 2(x+y+z)+2 \sum_{}^{} \sqrt{ } \sqrt{ } \ge 4(r_{a}+r_{b}+r_{c})+2 \sum_{}^{} \sqrt{ } \sqrt{} \ge 4(h_{a}+h_{b}+h_{c})}\)

dalej:

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \sqrt{} \sqrt{} \ge 2\left[ \left( h_{a}-r_{a}\right)+\left( h_{b}-r_{b}\right)+\left( h_{c}-r_{c}\right) \right]}\)

Biorąc pod uwagę: (*)

Wystarczy udowodnić czy:

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \sqrt{} \sqrt{} \ge 2(x+y+z)}\)

Biorąc pod uwagę nierówności między średnimi mamy:

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \sqrt{} \sqrt{} \ge 3 \sqrt[3]{ \sqrt{(x+y)^2(x+x)^2(y+z)^2} }=3 \sqrt[3]{(x+y)(y+z)(x+z)}}\)

Czyli wystarczy udowodnić:

\(\displaystyle{ 3 \sqrt[3]{(x+y)(y+z)(x+z)} \ge 2(x+y+z)}\)

Podnieśmy to do trzeciej

\(\displaystyle{ 27(x+y)(y+z)(x+z) \ge 8(x+y+z)^3}\)

Po wymnożeniu i skróceniu:

\(\displaystyle{ 3xy^2+3xz^2+3x^2y+3x^2z+3yz^2+3y^2z+6xyz \ge 8(x^3+y^3+z^3)}\)

Podzielmy ostatnią nierówność przez \(\displaystyle{ x^3}\) - obie strony oraz podstawieniach:

\(\displaystyle{ A= \frac{y}{x} , B= \frac{z}{x}}\)

Otrzymamy:

\(\displaystyle{ 3A^2+3B^2+3A+3B+3AB^2+3A^2B+6AB \ge 8(1+A^3+B^3)}\)

Po dalszych przekształceniach otrzymamy:

\(\displaystyle{ 3\left[ \left( A+B\right) ^2-2AB\right] +3\left( A+B\right) +3AB\left( A+B+2\right) \ge 8+8\left[ \left( A+B\right) ^3-3AB\left( A+B\right) \right]}\)

Podstawmy teraz:

\(\displaystyle{ X=A+B , Y=AB}\)

otrzymamy po skróceniu:

(1) \(\displaystyle{ 27XY-8X^3+3X^2+3X-8 \ge 0}\)

Wiadomo, że: \(\displaystyle{ X>0, Y>0}\)

Biorąc to pod uwagę nierówność (1) jest większa od zera co łatwo wykazać cnd...

[Zahion]

Nie wiem czy istnieje jakiś dodatkowy warunek dla \(\displaystyle{ x,y,z}\), ponieważ nierówność
\(\displaystyle{ 27\left( x+y\right)\left( y+z\right)\left( x+z\right) \ge 8\left( x+y+z\right)^{3}}\)
nie jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ x,y,z > 0}\) np. dla \(\displaystyle{ x = 1 ,y = 2, z = 3}\)

[a4karo]

A stwierdzenie że
\(\displaystyle{ 27XY-8X^3+3X^2+3X-8 \ge 0}\) dla \(\displaystyle{ X,Y>0}\) też jest wróżeniem z fusów (\(\displaystyle{ X=1}\), \(\displaystyle{ Y\approx 0}\))

[arek1357]

No tak brakuje warunku dodatkowego na x,y z do bani!
A nawet całkiem do bani !

[timon92]

już w tym momencie jest zbyt grubo

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \sqrt{} \sqrt{} \ge 2(x+y+z)}\)

[arek1357]

Chyba zdecydowanie!

[athame]

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \sqrt{} \sqrt{} \ge 2(x+y+z)}\)

Co to za zapis?

[timon92]

nie chciało mu się pisać wszystkich pierwiastków, z kontekstu wiadomo, że chodzi o \(\displaystyle{ \sqrt{(x+y)(y+z)}+\sqrt{(y+z)(z+x)}+\sqrt{(z+x)(x+y)} \ge 2(x+y+z)}\)

[arek1357]

Przyszedł mi taki pomysł że może by liczyć minimum funkcji:

\(\displaystyle{ f= \sqrt{x+y}+ \sqrt{y+z}+ \sqrt{x+z}}\)

I teraz niech:

(1) \(\displaystyle{ x+y+z=s}\)

Oczywiście istnieje nawet infimum tych wszystkich s , bierze się to z jakiegoś tam punktu Fermata...

jak przepiszemy to równanie uwzględniając (1) otrzymamy:

\(\displaystyle{ f= \sqrt{s-x}+ \sqrt{s-y}+ \sqrt{s-z}}\)

Dochodzi jeszcze, że: \(\displaystyle{ x+y \ge a}\) - a bok trójkąta załóżmy, że:

\(\displaystyle{ a \le b \le c}\)

Można przyjąć, że:

\(\displaystyle{ x+y=2t}\)

i wtedy funkcja przyjmie postać:

\(\displaystyle{ f= \sqrt{2t}+ \sqrt{s-x} + \sqrt{s-2t+x}}\)

Można ustalić s i x i badać to po zmiennej t coś takiego jak w tym temacie ,który niedawno ruszyłem:

394912.htm

Licząc po t minimum tej funkcji powinno być dla \(\displaystyle{ 2t=a}\)

po przepisaniu funkcja wyglądałaby:

\(\displaystyle{ f= \sqrt{a}+ \sqrt{s-x} + \sqrt{s-a+x}}\)

teraz licząc minimum po ixach , ustalając s otrzymamy minimum dla \(\displaystyle{ x=a}\)

wtedy \(\displaystyle{ y=0 , z=b , s=a+b}\)

i wtedy:

\(\displaystyle{ f_{min}= \sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{a+b}}\)

Lecz ustalając x a licząc po s minimum otrzymamy dla

\(\displaystyle{ z=h_{a}}\), a wtedy \(\displaystyle{ x , y}\) to odcinki na jakie dzieli wysokość \(\displaystyle{ h_{a}}\) bok "a" trójkąta

wtedy \(\displaystyle{ s=h_{a}+a}\)

i tu:

\(\displaystyle{ f_{min}^{'}=\sqrt{a}+ \sqrt{a_{1}+h_{a}} + \sqrt{a_{2}+h_{a}}}\)

gdzie \(\displaystyle{ a_{i}}\) odcinki na które dzieli wysokość \(\displaystyle{ h_{a}}\) bok a


Tak czy siak sugeruje mi, że minimum tej funkcji powinno być na bokach trójkąta!
(Bo zwykłe metody szukania minimum za pomocą pochodnych zawodzą więc sugestia że minimum jest osiągalne na krańcach dziedziny czyli w tym wypadku na bokach trójkąta lub wierzchołkach)

To takie moje dywagacje nic wiążącego ale można się odnieść!

Z moich obserwacji :

\(\displaystyle{ f_{min}^{'} \le f_{min}}\)