Jeszcze raz okresowość

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) będzie taką, że \(\displaystyle{ f(x-1) - f(x+1) = \lfloor f(x)-f(x+1) \rfloor}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ f}\) jest okresowa.

[jutrvy]

Jeśli Ci to pomoże, to potrafię pokazać, że \(\displaystyle{ f(x-1) - f(x+1)\in\lbrace -1,0\rbrace}\).

1. Z założenia wynika od razu, że \(\displaystyle{ f(x-1) - f(x+1)\in\ZZ}\).

2. Z definicji podłogi mamy, że \(\displaystyle{ f(x) - f(x+2) \le f(x+1) - f(x+2)}\), co oznacza, że \(\displaystyle{ f(x) \le f(x+1)}\).

3. Z własności podłogi wynika, że \(\displaystyle{ 1 + \lfloor f(x) - f(x+1)\rfloor + \lfloor f(x-1) - f(x)\rfloor \ge \lfloor f(x-1) - f(x+1)\rfloor}\). Z tej nierówności wynika już, że \(\displaystyle{ \lfloor f(x-1)-f(x)\rfloor \ge -1}\), a z punktu 2. wynika, że \(\displaystyle{ \lfloor f(x-1)-f(x)\rfloor \le 0}\).

Satysfakcjonującym rezultatem byłoby pokazanie, że \(\displaystyle{ \lfloor f(x-1)-f(x)\rfloor = 0}\), wydaje mi się, że o to chodzi w tym zadaniu. Jeszcze nie mam pomysłu, jak to zrobić, jak coś wymyślę (jeżeli) to wrzucę na forum.

[mol_ksiazkowy]

zadanie 65 z Nierozwiązanych 5

Ukryta treść:    

No ale twierdzenie to jest (być może) fałszywe…
Jeśli \(\displaystyle{ g(x)= f(x) - f(x+1)}\) to \(\displaystyle{ g(x-1)+ g(x) = \lfloor {g(x)} \rfloor}\) tj. \(\displaystyle{ g(x-1) = - \{ g(x) \}}\).
gdzie \(\displaystyle{ \{ x \}}\) to mantysa \(\displaystyle{ \{ x \}}\).
Jednakże nie znaczy to że \(\displaystyle{ g \equiv 0}\) bo np. \(\displaystyle{ g \equiv - \frac{1}{2}}\)... itp.