[Ciągi] Ciąg arytmetyczny

[rochaj]

Znaleźć wszystkie pary liczb naturalnych, \(\displaystyle{ n}\) oraz \(\displaystyle{ k, 2 < k < n}\), takich że
\(\displaystyle{ \binom{n}{k-1}, \binom{n}{k}, \binom{n}{k+1}}\) tworzą rosnący ciąg arytmetyczny.

[piasek101]

A co jest większe, pierwszy czy ostatni symbol ?

[edit] To nie jest dobra podpowiedź.
Próbowałeś klasycznie - rozpisując ?

[Ponewor]

Fajne. Po rozpisaniu, wymnożeniu można częściowo zwinąć.

[czekoladowy]

Mi wyszło, że tych par jest nieskończenie wiele. \(\displaystyle{ (n,k)=(a^2+4a+2, \frac{a^2+3a}{2}}\)) , dla \(\displaystyle{ a \ge 2}\) ( oczywiście \(\displaystyle{ a \in Z}\) ).

Nie umiem udowodnić, że to wszystkie rozwiązania.

[mol_ksiazkowy]

Po rozpisaniu, wymnożeniu można częściowo zwinąć.

Ukryta treść:    

Równanie \(\displaystyle{ 2 {n \choose k+1}= {n \choose k}+ {n \choose k+2}}\) ma formę \(\displaystyle{ \frac{2n!}{(k+1)! (n-k-1)!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}+ \frac{n!}{(k+2)! (n-k-2)!}}\) tj.
\(\displaystyle{ 2(k+2)(n-k) = (k+2)(k+1)+ (n-k)(n-k-1)}\). Jest to równanie kwadratowe zmiennej k: (z Delta \(\displaystyle{ 16(n+2)}\))
\(\displaystyle{ 4k^2 - 4k(n-2) + n^2 - 5n+2}\) stad:
A więc n+2 jest kwadratem liczby całkowitej; \(\displaystyle{ n+2 = m^2}\); i:
\(\displaystyle{ k = \frac{m^2 +m -4}{2}}\) lub \(\displaystyle{ k = \frac{m^2 -m -4}{2}}\)