[Kombinatoryka] turniej

[mol_ksiazkowy]

Toczony jest pewien turniej..powiedzmy szachowy...w którym rozgrywki sa w syst. pucharowym (przegrany odpada), startuje N zawodników. jest wśród nich n twardzieli- profesjonalistow- (Prawdopodobieństwo ze dowolny z nich wygra z amatorem wynosi p)- i mają oni numery startowe bedace kolejnymi wielokrotnościami liczby N/n, .....reszta to amatorzy.

Kojarzenia w kolejnych rundach sa wg zasady: graja dwaj z najmniejszymi numerami start., ktorzy nie odpadli, potem nastepni dwaj itd....Jakie jest prawdopodobieństwo , ze turniej wygra pewien zawodowiec....? ps.1 sorki jesli tresc napisałem ciut niejasno.....- w razie watpliwosci prosze pytac. ps2 autor nie zna rozwiazania

dane:
N=1024
n=128
p=0,6
tj. liczba rund=10

[arek1357]

Mam taki pomysł(luźny) ponieważ prawdopodobieństwo będzie całkowite
Załóżmy że najtwardszy z nich to Twardziel Zenek i on wygra
zakładam że jeśli twardziel gra z twardzielem to to że wygra będzie 0,5
jeśli będą wygrywać tylko twardziele to po trzeciej rundzie na pewno się zaczną spotykać ze sobą wcześniej to niemożliwe bo dobierają się najmniejsze numery startowe czyli na początku jest:
(1,2)(2,3)...(1023,1024)
może być tak ze Zenek będzie grał tylko z amatorami czyli że wygra będzie \(\displaystyle{ p^{10}}\),że napotka 1twardziela czyli:

\(\displaystyle{ p^{9}*0,5* {7\choose 1}}\)
że napotka 2 twardzieli;
\(\displaystyle{ p^{8}*0,5*0,5* {7\choose 2}}\)
itd...
najwięcej może napotkać 7 twardzieli...(potem to sumować)
i co myślicie?

[Marin]

Jako że jestem dość młody, moje rozwiązanie może być bez sensu, ale zaryzykuję:D

\(\displaystyle{ \frac{0,6\cdot 0,6}{100}}\) To jest prawdopodobieństwo, z jakim profesjonalista może dojść do 3 rundy; Wychodzi na \(\displaystyle{ \frac{36}{100}}\)
Tak jak już pomysł podano, jeśli twardziel gra z twardzielem, to załóżmy, że ich szanse są równe, czy szansa na zwycięstwo wynosi 0,5.

\(\displaystyle{ \frac{36}{100}\cdot 128 46}\) Piszę w przybliżeniu (Wynik wynosi 46,08)
Czyli 46 grających profesjonalistów będzie w 3 rundzie.

W 3 rundzie: \(\displaystyle{ 46 0,6 28}\) (Wynik wynosi 27,6)
Wychodzi mi, że do 4 rundy dojdzie ok. 28 profesjonalistów.

W 4 rundzie jest szansa \(\displaystyle{ \frac{28}{128}}\) że spotkają się profesjonaliści ze sobą, czyli: \(\displaystyle{ 28 \frac{28}{128} 6}\), a z tej szóstki wyjdzie trzech; natomiast pozostała 22 będzie grała z amatorami, czyli wyjdzie z nich \(\displaystyle{ 22 0,6 13}\) (Wynik wynosi 13,2) Do piątej rundy dojdzie 16 profesjonalistów.

W piątej rundzie zagra ze sobą 4 profesjonalistów, z nich wyjdzie 2, a z 12 wyjdzie ok. 7 (Wynik: 7,2). Do szóstej rundy dojdzie ok. 9 profesjonalistów.

W szóstej rundzie spotka się ze sobą 2 profesjonalistów - wyjdzie z nich jeden, a z pozostałej siódemki wyjdzie czterech graczy profesjonalnych, bo \(\displaystyle{ 7 \frac{7}{32} 4}\). Do siódmej rundy dojdzie 5 pro.

W 7 rundzie spotka się ze sobą prawdopodobnie 2 profesjonalistów, z nich wyjdzie 1, a z pozostałej trójki wyjdzie 2; \(\displaystyle{ 3 0,6 2}\) - wynik wynosi oczywiście 1,8. Do ćwierćfinału przejdzie 4 profesjonalistów.

W ćwierćfinale: Szansa na spotkanie się ze sobą profesjonalistów wyniesie \(\displaystyle{ \frac{4}{8}}\), więc z dwóch zawodowców przejdzie tylko jeden, a z pozostałych dwóch przejdzie także jeden (Szanse na przejście obydwóch wyniosą \(\displaystyle{ \frac{1,2}{2}}\))

W półfinale są dwie opcje: Dwóch zawodowców się ze sobą spotka - wyjdzie z nich jeden, albo obydwoje spotkają się z amatorami, i obydwoje przejdą. Wychodzi na to, że szansa wyniesie \(\displaystyle{ 50 }\) lub \(\displaystyle{ 60 }\) (?)

Dziękuję z góry za przeczytanie:)

[Sylwek]

Powyższe rozwiązania istotnie są dość luźnymi dywagacjami, postaram się przedstawić coś bardziej ścisłego.

Wystarczy policzyć prawdopodobieństwo, że pewien zawodowiec wygra 10 pojedynków pod rząd - dla ustalenia uwagi niech to będzie zawodowiec o numerze 8 (nazwę go Leon - od Leona Zawodowca ) - potem wynik wystarczy pomnożyć przez ilość zawodowców.

Niech \(\displaystyle{ P_k}\) oznacza prawdopodobieństwo, że Leon przejdzie k-tą rundę. Wówczas oczywiście:
\(\displaystyle{ P_1=p \\ P_2=p^2 \\ P_3=p^3}\)

Rozpatrzmy, co się dzieje dalej. W czwartej rundzie może spotkać zawodowca o numerze 16 (prawdopodobieństwo takiego spotkania wynosi oczywiście \(\displaystyle{ 1 \cdot P_3}\)) - wówczas Leon wygrywa z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\); może też spotkać amatora (prawdopodobieństwo takiego spotkania wynosi \(\displaystyle{ 1-1 \cdot P_3}\)) - wówczas Leon wygrywa z nim z prawdopodobieństwem p.

Zatem: \(\displaystyle{ P_4=P_3 \cdot ( P_3 \cdot \frac{1}{2} + (1-P_3) \cdot p )}\)

Dalej zauważmy, że w \(\displaystyle{ k}\)-tej rundzie Leon będzie mógł spotkać jakiegoś amatora lub jednego z \(\displaystyle{ 2^{k-4}}\) profesjonalistów (\(\displaystyle{ k \ge 4}\)). Czyli, rozumując jak powyżej zachodzić będzie zależność: \(\displaystyle{ P_{n+1}=P_n \cdot \left( 2^{n-3} \cdot P_n \cdot \frac{1}{2} + (1-2^{n-3} \cdot P_n) \cdot p\right)}\)

Wyniki z Excela dla podanego w pierwszym poście \(\displaystyle{ p=0,6}\):
\(\displaystyle{ P_4 \approx 0,1249344 \\
P_5 \approx 0,071838919 \\
P_6 \approx 0,041039019 \\
P_7 \approx 0,023276051 \\
P_8 \approx 0,013098791 \\
P_9 \approx 0,007310224 \\
P_{10} \approx 0,004044122}\)

Zatem wynikiem zadania jest \(\displaystyle{ 128 \cdot P_{10} \approx 0,51764767 \approx 51,76 \%}\).