[MIX] Obóz matematyczny Gryfino 2006

[juzef]

O ile pamiętam po raz czwarty już odbył się obóz matematyczny w Gryfinie, a ja miałem przyjemność brać w nim udział. Na forum są zadania z poprzedniego roku, więc postanowiłem zamieścić tegoroczne.

Zacznę może od zadań trudniejszych.

Dzień pierwszy.

1. Niech \(\displaystyle{ W(X) \in \mathbb{Z}[X]}\) będzie wielomianem niestałym. Liczbę naturalną nazwiemy \(\displaystyle{ W}\)-wyróżnioną, gdy istnieje takie \(\displaystyle{ x\in \mathbb{Z}}\), że \(\displaystyle{ n}\) dzieli \(\displaystyle{ W(x)}\). Dowieść, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych \(\displaystyle{ W}\)-wyróżnionych.

2. Ciągi \(\displaystyle{ (a_n)}\) i \(\displaystyle{ (b_n)}\) są takie, że \(\displaystyle{ a_1>0,\ b_1>0}\) oraz dla \(\displaystyle{ n=1, 2, 3, ...}\) zachodzą równości \(\displaystyle{ a_{n+1}=a_n+\frac{1}{b_n}}\), \(\displaystyle{ b_{n+1}=b_n+\frac{1}{a_n}}\). Dowieść, że \(\displaystyle{ a_{2006}+b_{2006}>4\sqrt{1003}}\).

3. Niech \(\displaystyle{ C, D}\) będą takimi punktami półokręgu o śrenicy \(\displaystyle{ \overline{AB}}\), że \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) leżą w różnych półpłaszczyznach wyznaczonych przez prostą \(\displaystyle{ l_{AD}}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ M, N}\) i \(\displaystyle{ P}\) odpowiednio środki odcinków \(\displaystyle{ \overline{AC}}\), \(\displaystyle{ \overline{DB}}\), \(\displaystyle{ \overline{CD}}\). Niech \(\displaystyle{ O_a}\), \(\displaystyle{ O_b}\) oznaczają środki okręgów opisanych na \(\displaystyle{ \bigtriangleup ACP}\) i \(\displaystyle{ \bigtriangleup BDP.}\) Dowieść, że \(\displaystyle{ l_{O_aO_b}||l_{MN}}\).

Dzień drugi.

4. Dowieść, że nie istnieją takie trójmiany kwadratowe \(\displaystyle{ f, g, h}\), że funkcja wielomianowa ósmego stopnia \(\displaystyle{ F(x)=f(g(h(x)))}\) ma pierwiastki dla \(\displaystyle{ x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}\).

5. Dany jest czworościan \(\displaystyle{ ABCS}\). Sfera dopisana do \(\displaystyle{ ABCS}\) leżąca naprzeciwko wierzchołka \(\displaystyle{ S}\) jest styczna do płaszczyzny \(\displaystyle{ ABC}\) w punkcie \(\displaystyle{ K}\). Punkty \(\displaystyle{ T, U, W}\) płaszczyzny \(\displaystyle{ ABC}\) takie, że \(\displaystyle{ \bigtriangleup ABW}\), \(\displaystyle{ \bigtriangleup BCT}\) i \(\displaystyle{ \bigtriangleup CAU}\) leżą na zewnątrz \(\displaystyle{ \bigtriangleup ABC}\) i spełniają warunki \(\displaystyle{ \bigtriangleup ABW \equiv \bigtriangleup ABS}\), \(\displaystyle{ \bigtriangleup BCT \equiv \bigtriangleup BCS}\), \(\displaystyle{ \bigtriangleup CAU \equiv \bigtriangleup CAS}\). Dowieść, że \(\displaystyle{ K}\) jest środkiem okręgu opisanego na \(\displaystyle{ \bigtriangleup TUW.}\)

6. Niech \(\displaystyle{ n>1}\) będzie liczbą całkowitą nieparzystą. Niech \(\displaystyle{ S}\) oznacza zbiór tych \(\displaystyle{ x \in \{1, 2, ..., n\}}\), dla których \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ x+1}\) są względnie pierwsze z \(\displaystyle{ n}\). Dowieść, że \(\displaystyle{ \prod_{x\in S}x\equiv 1\pmod n}\).

Teraz kilka łatwiejszych zadań.

Dzień pierwszy.

1. Udowodnić, że równanie \(\displaystyle{ s^5+t^7+u^9=w^{11}}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich.

2. Dwa prostokąty mają równy stosunek długości boków (są podobne) i leżą tak, że na każdym boku większego leży wierzchołek mniejszego z nich. Wyznaczyć możliwe wartości stosunku długości boków tych prostokątów.

3. Udowodnić, że jest możliwe "pokolorowanie" każdej liczby wymiernej \(\displaystyle{ q}\) dodatniej jednym z dwóch kolorów na czerwono lub biało w taki sposób, aby \(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{q}}\) były jednakowego koloru, zaś \(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ q+1}\) różnych kolorów.

Dzień drugi.

4. Niech \(\displaystyle{ a_1, a_2, ..., a_n}\) będą liczbami dodatnimi. Oznaczając przez \(\displaystyle{ S}\) ich sumę udowodnić, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}{\frac{a_i}{2S-a_i}}\geq \frac{n}{2n-1}.}\)

5. Dane są parami różne liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a_1, a_2,..., a_n,b_1,b_2,...,b_n}\). Z ich pomocą wypełniamy pola szachownicy \(\displaystyle{ n \times n}\) następująco: na przecięciu \(\displaystyle{ i}\)-tego wiersza i \(\displaystyle{ j}\)-tej kolumny stawiamy liczbę \(\displaystyle{ a_i+b_j}\). Dowieść, że jeżeli iloczyny liczb stojących w każdej kolumnie są takie same, to również iloczyny liczb stojących w każdym wierszu są takie same.

6. Niech \(\displaystyle{ O}\) będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(\displaystyle{ \bigtriangleup ABC}\). Proste \(\displaystyle{ l_{AO}}\) i \(\displaystyle{ l_{BC}}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ K}\). Na bokach \(\displaystyle{ \overline{AB}}\) i \(\displaystyle{ \overline{AC}}\) leżą różne od wierzchołków punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ L}\) takie, że \(\displaystyle{ |KM| = |KB|}\) i \(\displaystyle{ |KL| = |KC|}\). Dowieść, że proste \(\displaystyle{ l_{LM}}\) i \(\displaystyle{ l_{BC}}\) są równoległe.

[półpasiec]

naprawde fajne zadania, proponowalbym sobie zrobic z nich pieciogodzinowke przed drugim etapem:)

[juzef]

Jak znajdę chwilę wolnego czasu to wrzucę resztę zadań. W warunkach konkursowych (dwa dni po 5 godzin) udało mi się zrobić 3 z powyższych 6 zadań, więc pod względem poziomu trudności są pewnie trochę łatwiejsze niż drugi etap.

[Tomasz Rużycki]

Dzień drugi, 4.

Dowód 1.

Weźmy sobie wypukłą \(\displaystyle{ f(x) = \frac{x}{2S-x}}\) oraz wagi \(\displaystyle{ \alpha_1 = \ldots = \alpha_n = \frac{1}{n}}\).

Na mocy nierówności Jensena mamy:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \alpha_i f(a_i) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{2S-a_i}\geq f\left(\sum_{i=1}^n \alpha_ia_i\right) = \frac{1}{2n-1},}\)

co kończy dowód.

Dowód 2.

Pomijam wskaźniki.

\(\displaystyle{ \sum \frac{a_i}{2S-a_i} = \sum \frac{2S}{2S-a_i} - n = 2S\sum\frac{1}{2S-a_i} - n q \frac{2Sn^2}{\sum 2S-a_i} - n = \frac{2Sn^2}{2nS-S}-n = \frac{2n^2}{2n-1} - n = \frac{2n^2-2n^2+n}{2n-1}=\frac{n}{2n-1},}\)

co kończy dowód.

Ogólniej: zachodzi \(\displaystyle{ \sum \frac{a_i}{kS-a_i}\geq \frac{n}{kn-1}}\).

Postaram się coś później dopisać:)


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[soliter]

1. Udowodnić, że równanie \(\displaystyle{ s^5+t^7+u^9=w^{11}}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich.

\(\displaystyle{ NWD(315,11)=1\, \, \exists (a,b)\in \mathbb{N}_{+}^2 \qquad 11b-315a=1\Longleftrightarrow 11b=315a+1}\)
Niech

\(\displaystyle{ q\in \mathbb{N}_{+}\\ s=(3\cdot q^{11b})^{63a}\\t=(3\cdot q^{11b})^{45a}\\ u=(3\cdot q^{11b})^{35a}.}\)

\(\displaystyle{ s^5+t^7+u^9=3(3\cdot q^{11b})^{315a}=3\cdot 3^{315a}\cdot g^{11b\cdot 315a}=\\=3^{315a+1}\cdot g^{11b\cdot 315a}=3^{11b}\cdot g^{11b\cdot 315a}=\\=((3\cdot q^{315a})^{b})^{11}}\)

Gryfino - ładna nazwa

[neworder]

6. Niech O będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ...

Nie chce mi się pisać całości, w skrócie - oznaczyć dwa kąty trójkąta jako \(\displaystyle{ \alpha}\) i\(\displaystyle{ \beta}\), wszystkie pozostałe kąty wyrazić przy ich pomocy (korzystając z faktu, że powstaną trójkąty równoramienne oraz że \(\displaystyle{ AOB=2\alpha, AOC=2\beta}\) itd.) Potem długości potrzebne do twierdzenia Talesa (np. AM, AB, LM i BC albo dowolny inny zestaw) wyznaczyć przez sinusy kątów (korzystając z tw. sinusów) - wszystko ładnie się skraca.

[Ponewor]

3. Udowodnić, że jest możliwe "pokolorowanie" każdej liczby wymiernej \(\displaystyle{ q}\) dodatniej jednym z dwóch kolorów na czerwono lub biało w taki sposób, aby \(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{q}}\) były jednakowego koloru, zaś \(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ q+1}\) różnych kolorów.

Ukryta treść:    

Dla każdej dodatniej liczby wymiernej \(\displaystyle{ q=\frac{a}{b}}\) rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f:\ZZ \times \ZZ \rightarrow \left\{ -1, \ 1\right\}}\) o następujących własnościach:
\(\displaystyle{ f\left(2k+1, \ 0\right)=1}\)
\(\displaystyle{ f\left(2k, \ 0\right)=-1}\)
\(\displaystyle{ f\left(a, \ b\right)=\left(-1\right)^{\left[ \frac{a}{b}\right] }f\left(b, \ a \mod b \right)}\) dla \(\displaystyle{ b \neq 0}\)
Jak widać, jest to nieco zmodyfikowany algorytm Euklidesa. Co oznacza, że w skończonym czasie możemy się doliczyć wszystkich wartości, bo i algorytm Euklidesa kiedyś się kończy (u nas lata tylko ta \(\displaystyle{ -1}\)). Dodatnie wartości funkcji to malowanie na biało, ujemne na czerwono.
Dowiedziemy szybko, że to malowanie spełnia warunki zadania. Najpierw pierwszy warunek. Jeżeli \(\displaystyle{ a=b}\), to \(\displaystyle{ q=1}\) i wtedy jest on oczywisty. Niech bez straty ogólności \(\displaystyle{ a>b}\), wówczas kolorowanie dla \(\displaystyle{ \frac{1}{q}}\) wygląda tak:
\(\displaystyle{ f\left(b, \ a \right)=\left(-1\right)^{\left[ \frac{b}{a}\right] }f\left(a, \ b \mod a \right)=\left(-1\right)^{0}f\left(a, \ b\right)=f\left(a, \ b\right)}\)
Teraz drugi warunek. Jak wygląda kolorowanie dla \(\displaystyle{ q+1}\)?
\(\displaystyle{ f\left(a+b, \ b\right)=\left(-1\right)^{\left[ \frac{a+b}{b}\right] }f\left(b, \ a+b \mod b \right)=-\left(-1\right)^{\left[ \frac{a}{b}\right] }f\left(b, \ a \mod b \right)=-f\left(a, \ b\right)}\)
Co kończy dowód.