[Teoria liczb] Liczba trójkątna

[mol_ksiazkowy]

Dowieść całkiem prosto (tj. elementarnie - w kilku wierszach), że na to aby liczba trójkątna \(\displaystyle{ t_{2k-1}}\), \(\displaystyle{ t_{n}=1+...+n}\), była kwadratem trzeba i wystarczy aby k i 2k-1 były kwadratami, zaś żeby \(\displaystyle{ t_{2k}}\) była kwadratem - liczby k i 2k+1 były kwadratami ?!

[mdz]

Oczywiście: \(\displaystyle{ t_{2k-1}=k(2k-1)}\). Ponadto zauważmy, że: \(\displaystyle{ (k,2k-1)=1}\), aby więc \(\displaystyle{ t_{2k-1}}\) było kwadratem liczby naturalnej, \(\displaystyle{ k,2k-1}\) także muszą być kwadratami, c.k.d.

Dla \(\displaystyle{ t_{2k}}\) rozumowanie przebiega analogicznie.