[Teoria liczb] Przyjemny problem przedstawialności

[ElEski]

Udowodnij, że istnieje tylko skończenie wiele liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\), których nie da się przedstawić w postaci sumy kwadratów różnych liczb naturalnych.

[bourbaki]

Idea dowodu mocniejszej wersji tego twierdzenia przedstawiona jest w artykule Über Zerlegungen in ungleiche Quadratzahlen pana Sprague w Mathematische Zeitschrift 51.

[jakub_jabulko]

to pora zmienić nazwę na "nieprzyjemny problem przedstawialności". chyba że masz jakieś fajne rozwiązanie tego problemu?

[Ponewor]

Może określenie "przyjemny" zostało nadane temu problemowi nie pod wpływem poziomu trudności rozwiązania, a pod wpływem doznań doświadczanych podczas starań dowiedzenia urodziwej w mniemaniu autora (i nie tylko) tezy?

[ElEski]

1. Rozwiązanie

Ukryta treść:    

Wykażemy, że każda liczba \(\displaystyle{ n>1^2+59^2+117^2+..+(58 \cdot 114+1)^2}\) spełnia warunki zadania.
Każda taka liczba ma postać \(\displaystyle{ 116c+d}\) gdzie \(\displaystyle{ -1<d<116}\)
Istnieje \(\displaystyle{ e}\) t.że\(\displaystyle{ n=116e+ (1^2+59^2+...+(58(d-1)+1)^2).}\)
Jeśli pokażemy, że \(\displaystyle{ 116c}\) jest sumą różnych liczb parzystych, to mamy tezę.
Przedstawmy c binarnie: \(\displaystyle{ c=[2^{(2x_{1})}+...+2^{(2x_{f})}]+[2^{(2y_{1}+1)}+...+2^{(2y_{g}+1)}]}\).
\(\displaystyle{ 116c={ [(2^{(x_{1}+1)} \cdot 5)^{2}+(2^{(x_{1}+1)} \cdot 2)^{2}]+[(2^{(x_{2}+1)} \cdot 5)^{2}+(2^{(x_{2}+1)} \cdot 2)^{2}]+....+
[(2^{(x_{f}+1)} \cdot 5)^{2}+(2^{(x_{f}+1)} \cdot 2)^{2}] } + { [(2^{(y_{1}+1)} \cdot 7)^{2}+(2^{(y_{1}+1)} \cdot 3)^{2}]+[(2^{(y_{2}+1)} \cdot 7)^{2}+(2^{(y_{2}+1)} \cdot 3)^{2}]+....+
[(2^{(y_{g}+1)} \cdot 7)^{2}+(2^{(y_{g}+1)} \cdot 3)^{2}] }}\)

2.

Ukryta treść:    

Widać, że gdyby udało się sprawdzić przedstawialność liczb nieparzystych na przedziale a,b; gdzie b jest jakoś 2-3 razy większe od a to jest fajnie, bo jak weźmiemy n>3x, to wybierając l takie, że n-l^2 nieparzyste i większe niż a, to jakoś działa indukcja. No, to miała być zachęta na zrobienie programu który policzy porządna bazę do prostej indukcji, przypuszczam, że wyjdzie.