[Planimetria] Trzy zadanka z inwersji

[porfirion]

1.Dane są trzy okręgi, w tym dwa styczne. Skonstruować okrąg styczny do tych trzech
okręgów.

2.Punkt \(\displaystyle{ C}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ AB}\). Okrąg \(\displaystyle{ o_{1}}\) przechodzący przez \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) przecina okrąg \(\displaystyle{ o_{2}}\) przechodzący przez \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\)w różnych punktach \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\). Punkt \(\displaystyle{ P}\) jest środkiem tego łuku \(\displaystyle{ AD}\), na którym nie leży punkt \(\displaystyle{ C}\), a punkt \(\displaystyle{ Q}\) jest środkiem tego łuku \(\displaystyle{ BD}\), na którym nie leży \(\displaystyle{ C}\). Udowodnić, że proste \(\displaystyle{ CD}\) i \(\displaystyle{ PQ}\) są prostopadłe.

3. Dany jest okrąg \(\displaystyle{ o}\) oraz okręgi \(\displaystyle{ o_{1}}\),\(\displaystyle{ o_{2}}\),\(\displaystyle{ o_{3}}\),\(\displaystyle{ o_{4}}\),\(\displaystyle{ o_{5}}\),\(\displaystyle{ o_{6}}\) styczne wewnętrznie do okręgu \(\displaystyle{ o}\) w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ A,B,C,D,E,F}\), takie że okręgi \(\displaystyle{ o_{1}}\) i \(\displaystyle{ o_{2}}\), \(\displaystyle{ o_{2}}\) i \(\displaystyle{ o_{3}}\), \(\displaystyle{ o_{3}}\) i \(\displaystyle{ o_{4}}\), \(\displaystyle{ o_{4}}\) i \(\displaystyle{ o_{5}}\), \(\displaystyle{ o_{5}}\) i \(\displaystyle{ o_{6}}\), \(\displaystyle{ o_{6}}\) i \(\displaystyle{ o_{1}}\) są styczne zewnętrznie. Wykazać, że proste \(\displaystyle{ AD}\), \(\displaystyle{ BE}\), \(\displaystyle{ CF}\) przecinają się w jednym punkcie.

Pomóżcie

[Swistak]

3:    

Inwersja o środku w A. Dostajemy taki fajny obrazek, dwie proste równoległe, 5 okręgów stycznych do jednej z nich i każde 2 kolejne do siebie nawzajem, przy czym pierwszy i ostatni styczny także do drugiej z tych prostych. Teza jest taka, że okręgi AB'E' oraz AC'F' przecinają się na prostej AD', a to na mocy potęgi punktu jest równoważne temu, że \(\displaystyle{ BD \cdot DE= DC \cdot DF}\), co po prostych rachunkach, po uprzednim oznaczeniu promieni tych 5 okręgów i zastosowaniu Pitagorasa, okazuje się być prawdą.

A drugie to 57-2-5 . Ale wzorcówka naturalnie nie jest z inwersji .

2 z inwersji:    

Inwersja o środku w C, dla wygody niech będzie o promieniu CA. Otrzymujemy trójkąt ABD', którego 2 boki są obrazami o1 i o2. W dodatku mamy środek boku AB, mianowicie C oraz 2 dwusieczne CP' oraz CQ', kątów ACD i BCD. Teza jest równoważna temu, że okrąg opisany na \(\displaystyle{ P'CQ'}\) jest prostopadły do prostej \(\displaystyle{ CD}\), czyli, że przechodzi ona przez jego środek. Wiemy, że \(\displaystyle{ \angle P'CQ' = 90^{\circ}}\), zatem P'Q' jest średnicą tego okręgu. W dodatku tw. o dwusiecznej i Tales mówią nam, że \(\displaystyle{ P'Q'}\) jest równoległe do \(\displaystyle{ AB}\) co w połączeniu z tym, że \(\displaystyle{ DC}\) jest środkową daje nam, że środek \(\displaystyle{ P'Q'}\) leży na \(\displaystyle{ DC}\), czyli to, co chcieliśmy wykazać.

[porfirion]

Dzięki.

[Ponewor]

3:    

Teza jest taka, że okręgi AB'E' oraz AC'F' przecinają się na prostej AD', a to na mocy potęgi punktu jest równoważne temu, że \(\displaystyle{ BD \cdot DE= DC \cdot DF}\)

Proszę o wytłumaczenie tej równoważności.

1.:    

Inwersja o środku w punkcie styczności i promieniu najlepiej równym długości stycznej z punktu styczności do trzeciego okręgu, acz nie jest to konieczne. Pomijam konstruowanie obrazów inwersyjnych. Wyjdą dwie proste i okrąg między nimi. Potrzebujemy okręgu stycznego do obu tych prostych i okręgu, co już łatwo zrobić. Wyjdą cztery okręgi i trzeba wybrać właściwy i jego obraz inwersyjny będzie szukanym okręgiem.

[Jakub Gurak]

Nie wiem czy to coś pomoże, ale środek szukanego okręgu jest punktem przecięcia trzech hiperbol, zbiorów punktów o stałym module różnicy odległości od środka szukanego okręgu do dwóch środków okręgów (z tych trzech), równym (ten modul różnicy) dodatniej różnicy długości promieni tych dwóch okręgów.