[Teoria liczb] Pary będące potęgami dwójki

[mol_ksiazkowy]

Znowuż teoria liczb. Tym razem należy wyznaczyć wszystkie pary liczb całkowitych \(\displaystyle{ m,n}\) o tej własności, że liczby: \(\displaystyle{ a=m+n}\) i \(\displaystyle{ b=1+mn}\) będą obie potęgami dwójki.

[arek1357]

wychodzi mi że np m=1
otrzymamy:

\(\displaystyle{ n=2^{y}-1}\)

weźmy:

\(\displaystyle{ (1) 1+mn=2^{y}}\)

\(\displaystyle{ m+n=2^{x}}\)

\(\displaystyle{ czyli: m=2^{x}-n}\)

po podstawieniu do (1): załóżmy że: y>x

i po skróceniu otrzymamy:

\(\displaystyle{ n^{2} - 2^{x}n+ 2^{y}-1=0}\)

z tego Delta (D):

\(\displaystyle{ D=2^{2x} -2{y+2}+4>=0}\)

wychodzi stąd taka nierówność:

\(\displaystyle{ 2^{x-2}+1>=2^{y}}\)

co jest niemożliwe bo założyliśmy że y>x


jeśli y=x

otrzymamy: 1+mn=m+n

czyli m=1 ten przypadek już rozpatrzony był

[mol_ksiazkowy]

arek1357 napisał:

wychodzi stąd taka nierówność:

\(\displaystyle{ 2^{x-2}+1>=2^{y}}\)

co jest niemożliwe bo założyliśmy że y>x

hmmmm, chyba ma byc.... :
\(\displaystyle{ 2^{2x-2}+1>=2^{y}}\), ....., ?

[Sylwek]

Wyznaczyć wszystkie pary liczb całkowitych \(\displaystyle{ m,n}\) o tej własności, że liczby \(\displaystyle{ a=m+n}\) i \(\displaystyle{ b=1+mn}\) będą obie potęgami dwójki

Zauważmy, że gdyby obie z liczb m,n były niedodatnie, to \(\displaystyle{ a \leq 0}\), gdyby jedna z tych liczb była ujemna, a druga dodatnia, to \(\displaystyle{ b \leq 0}\), gdy \(\displaystyle{ m=0}\), to n jest postaci \(\displaystyle{ 2^k}\) i symetrycznie: \(\displaystyle{ n=0 \ \Rightarrow \ m=2^k}\)

Rozpatrzmy więc przypadek, gdy \(\displaystyle{ m,n \in \mathbb{Z_+}}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases}(*) \ \ \ m+n=2^k \\ (**) \ \ \ mn+1=2^t \end{cases}}\)
Gdyby któraś z m,n była parzysta, to sprzeczność z (**).
Gdy któraś z m,n jest równa 1, to druga jest o jeden mniejsza od pewnej potęgi dwójki.

Został przypadek, gdy m,n są nieparzyste i większe bądź równe 3. Wówczas \(\displaystyle{ k \ge 3}\) oraz \(\displaystyle{ t \ge 4}\). Odejmując od drugiego równania pierwsze dostajemy: \(\displaystyle{ (m-1)(n-1)=2^t-2^k}\). Jako, że lewa strona jest dodatnia, to prawa też, czyli \(\displaystyle{ t>k}\). Możemy więc zapisać też równanie powstałe po zsumowaniu (*) i (**) i dostajemy taki układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases}(+) \ \ \ (m-1)(n-1)=2^k(2^{t-k}-1) \\ (++) \ \ \ (m+1)(n+1)=2^k(2^{t-k}+1) \end{cases}}\)

Jedna z liczb: n-1, m-1 musi być niepodzielna przez 4 (bo inaczej zarówno n+1, jak i m+1 są niepodzielne przez 4, zatem \(\displaystyle{ (m+1)(n+1)}\) jest niepodzielne przez 8, co stoi w sprzeczności z (++)). Zatem dla ustalenia uwagi niech to będzie \(\displaystyle{ n-1}\). Stąd z (+) dostajemy, że \(\displaystyle{ 2^{k-1}|(m-1)}\), dalej m+1 jest niepodzielne przez 4, czyli z (++) mamy: \(\displaystyle{ 2^{k-1}|(n+1)}\).

Z tych podzielności wynikają takie nierówności: \(\displaystyle{ m-1 \ge 2^{k-1}}\) oraz \(\displaystyle{ n+1 \ge 2^{k-1}}\), dodajmy je stronami korzystając z (*): \(\displaystyle{ 2^k=(m-1)+(n+1) \ge 2^{k-1}+2^{k-1}=2^k}\). Stąd w obu powyższych nierównościach muszą zachodzić równości. Czyli \(\displaystyle{ m=2^{k-1}+1}\) oraz \(\displaystyle{ n=2^{k-1}-1}\). Pozbywając się założenia o wyborze liczby niepodzielnej przez 4 spośród n-1, m-1, otrzymujemy wszystkie rozwiązania.