6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Wszelkie konkursy oraz olimpiady matematyczne poza granicami Polski.
kaszubki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
Płeć: Mężczyzna

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: kaszubki » 2 mar 2013, o 14:49

1. Dla dodatniej liczby całkowitej \(a\) określamy ciąg liczb całkowitych \(x_1,x_2,...\) wzorami: \(x_1=a\) oraz \(x_{n+1}=2x_n +1\) dla \(n \geq 1\). Niech \(y_n=2^{x_n}-1\).
Wyznaczyć największą liczbę całkowitą \(k\) taką, że dla pewnego \(a\) wszystkie liczby \(y_1,y_2,...,y_k\) są pierwsze.

2. Czy istnieje taka para funkcji \(g,h:\mathbb{R} -> \mathbb{R}\), że jedyną funkcją \(f:\mathbb{R} -> \mathbb{R}\) taką, że \(\forall_{x\in \mathbb{R}} f(g(x))=g(f(x)) \wedge f(h(x))=h(f(x))\) jest identyczność?

3. Czworokąt \(ABCD\) jest wpisany w okrąg \(\omega\). \(P=AB \cap CD, Q=AD \cap BC, R=AC \cap BD\). \(M\) jest środkiem odcinka \(PQ\), a odcinek \(MR\) przecina \(\omega\) w \(K\).
Wykaż, że okręgi \(PKQ\) i \(\omega\) są styczne.


4. Na płaszczyźnie dane są czworokąty wypukłe\(P, P'\), oraz punkt \(O\), który należy do ich części wspólnej (tzn. wnętrza lub brzegu). Wiemy, że dla każdej prostej \(l\) przechodzącej przez \(O\), odcinek wspólny \(l\) i \(P\) jest dłuższy niż odcinek wspólny \(l\) i \(P'\).
Czy może być prawdą, że \(\frac{[P']}{[P]}>1,9\)?

5. Dana jest liczba naturalna \(k\geq 2\). Niech \(a_1=1\) oraz dla każdej całkowitej \(n\geq 2\), \(a_n\) będzie najmniejszą liczbą \(x>a_{n-1}\) spełniającą równanie
\(x=1+\sum_{i=1}^{n-1} \left[ \sqrt[k]{\frac{x}{a_i}} \right]\)
Wykaż, że każda liczba pierwsza występuje w ciągu \(a_i\).

6. \(2n\) żetonów umieszczono w wierzchołkach \(2n-\)kąta foremnego, po jednym w każdym wierzchołku. Operacja polega na wybraniu boku \(2n-\)kąta i zamianie miejscami żetonów na jego końcach. Przypuśćmy, że każda para żetonów została zamieniona dokładnie raz.
Wykaż, że istnieje bok, który nie został wybrany w żadnej operacji.
Ostatnio zmieniony 2 mar 2013, o 17:51 przez kaszubki, łącznie zmieniany 1 raz.

KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: KPR » 2 mar 2013, o 15:16

tu był blef
Ostatnio zmieniony 2 mar 2013, o 15:39 przez KPR, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: timon92 » 2 mar 2013, o 15:27

KPR pisze:?
4:    
?

przecież to nic nie rozstrzyga

KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: KPR » 2 mar 2013, o 15:38

A, tam jest \(1,9\), a nie \(0,9\)

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: timon92 » 2 mar 2013, o 15:45

3:    

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: Swistak » 2 mar 2013, o 20:03

Moje rozwiązania znajdują się tutaj:

1: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 4#p2951524 (sry, zły link był tu wcześniej, ale już jest dobry )

-- 2 marca 2013, 22:43 --

3: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=523124

Oildale
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 29 gru 2012, o 23:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pruszków

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: Oildale » 2 mar 2013, o 23:13

3.
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: timon92 » 3 mar 2013, o 00:58

Oildale pisze:Korzystając z tw. Pascala oraz biegunowych łatwo pokazać, że \(Z\) leży na okręgu \(ABCD\)
jak to łatwo pokazać?

ponadto, jak już masz że \(Z\) leży na okręgu \(\omega\) to od razu jest koniec zadania - zastanów się czemu

KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: KPR » 3 mar 2013, o 11:06

5:    

Oildale
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 29 gru 2012, o 23:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pruszków

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: Oildale » 3 mar 2013, o 13:23

Okej, dowód, że \(Z\) leży na \(ABCD\) :
Tu macie rysunek, żeby nie bawić się w określanie konfiguracji, która w tym wypadku nie jest tak bardzo istotna (można sobie dopasować zmieniając oznaczenia). :
http://w821.wrzuta.pl/obraz/27EkDpEcUXJ/konfig

Narazie \(Z\) to przecięcie okręgu z \(QP'\). Weźmy sobie tw. Pascala dla punktów \(A,Z,B,Q',P',D\) (nie patrzcie na kolejność bo wpisałem ją randomowo) i teraz wiemy z tw. Pascala, że takie cosie są współliniowe: \(AD \cap ZP'\), \(AB \cap ZQ'\) oraz \(DQ' \cap BP'\). Pierwszy z tych punktów to \(Q'\) (z definicji punktu \(Z\)). Zauważmy, że biegunowa trzeciego z tych punktów przechodzi przez \(R\), zatem on sam leży na biegunowej \(R\), czyli prostej \(PQ\). Zatem wszystkie trzy punkty leżą na prostej \(PQ\). Zatem proste \(AB\), \(PQ\) i \(ZQ'\) przecinają się w jednym punkcie, którym oczywiście jest punkt \(P\), czyli punkty \(P\), \(Q'\) oraz \(Z\) leżą na jednej prostej i to jest to co chciałem pokazać.

Teraz już chyba wszystko działa.

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: timon92 » 3 mar 2013, o 13:40

jest ok

zauważ że dokładnie identyczne rozumowanie pokazuje że \(PP'\) oraz \(QQ'\) przecinają się na \(\omega\), czyli to do czego sprowadziłeś tezę

poza tym, pobieżnie przeczytałem dalszą część rozwiązania i nie wygląda ono najlepiej - stosujesz jakieś przekształcenie afiniczne, a potem twierdzisz, że punkty \(ABCD\) wciąż leżą na okręgu - to nie musi być prawda!

Oildale
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 29 gru 2012, o 23:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pruszków

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: Oildale » 3 mar 2013, o 17:19

To może przeczytaj uważniej. Przekształcenie afiniczne zostało użyte, aby pokazać, że \(Z, Z', R,M\) są współliniowe, a przecież punkty \(Z, Z'\) są definiowane jako przecięcia prostych, a \(R, M\) jako środki podstaw jakiegoś trapezu, więc żaden okrąg mi nie jest potrzebny w tej konfiguracji.

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: timon92 » 3 mar 2013, o 17:34

no rzeczywiście, jest tak jak mówisz

dla mniej wprawionych czytelników dodam, że po drodze niepostrzeżenie został przemycony fakt, że \(R\) jest środkiem \(P'Q'\) - to łatwo uzyskać z faktu że \(PQ\) jest biegunową \(R\) oraz \(PQ \parallel P'Q'\)

a to, że \(Z,Z',M,R\) są współliniowe można uzyskać z twierdzenia Talesa

tak czy siak, Twoje rozwiązanie jest świetne

Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: Ponewor » 5 mar 2013, o 19:33

A ile było czasu na te zadania? Bo chcę się zamknąć w pokoju o chlebie i wodzie, przysiąść i zaatakować.

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

6. Mistrzostwa Rumunii w Matematyce

Post autor: Swistak » 5 mar 2013, o 20:10

4,5h

ODPOWIEDZ