[Funkcje] Bijekcja jako suma bijekcji.

[Burii]

Pokaż że każda bijekcja \(\displaystyle{ f:Z \rightarrow Z}\) jest sumą dwóch funkcje \(\displaystyle{ g,h:Z \rightarrow Z}\) które są bijekcjami.

[kristoffwp]

To jakieś dziwne.

\(\displaystyle{ g(x)= \frac{f(x)+1}{2} \\ h(x)= \frac{f(x)-1}{2}}\)

Czy one nie będą również bijekcjami?

-- 12 maja 2011, o 17:55 --

Jakieś ułamki mogą niby wyjść....

-- 12 maja 2011, o 17:57 --

Nie, no źle.

[Zordon]

To zadanie można rozwiązać stosując metodę back-and-forth (tam i z powrotem) używaną często w rozumowaniach w teorii modeli.
Dana funkcja \(\displaystyle{ f}\), funkcje \(\displaystyle{ g,h}\) będziemy definiować przez indukcję, po kroku \(\displaystyle{ i}\)-tym zapewnimy sobie, żeby:
(1) funkcje \(\displaystyle{ g,h}\) były określone na pewnym skończonym zbiorze \(\displaystyle{ A_i}\) i były w obrębie tego zbioru różnowartościowe oraz \(\displaystyle{ g(x)+h(x)=f(x)}\) dla \(\displaystyle{ x\in A_i}\)
(2) \(\displaystyle{ A_i}\) posiada jako elementy wszystkie liczby o module \(\displaystyle{ <i/2}\) (plus być może jakieś inne)
(3) w obrazie: \(\displaystyle{ g(A_i)}\) występują wszystkie liczby o module \(\displaystyle{ <i/2}\)
(4) w obrazie: \(\displaystyle{ h(A_i)}\) występują wszystkie liczby o module \(\displaystyle{ <i/2}\)
(5) \(\displaystyle{ A_0 \subseteq A_1 \subseteq A_2 \subseteq ...}\)

W ten sposób otrzymamy funkcje spełniające tezę. Wystarczy pokazać krok indukcji. Krok taki składa się z 3 tur:
(1) dodajemy do dziedziny liczbę \(\displaystyle{ x}\) o najmniejszym module, której jeszcze w dziedzinie nie ma, określamy \(\displaystyle{ g(x),h(x)}\) tak, żeby wciąż były różnowartościowe oraz żeby \(\displaystyle{ g(x)+h(x)=f(x)}\), łatwo to uzyskać, ponieważ \(\displaystyle{ A_i}\) jest skończony
(2) dodajemy do obrazu g liczbę o najmniejszym module, której tam jeszcze nie ma (j.w.)
(3) dodajemy do obrazu h liczbę o najmniejszym module, której tam jeszcze nie ma (j.w.)

Szczegóły polecam dopracować samemu.

[patry93]

Co to jest moduł liczby i dlaczego w ogóle \(\displaystyle{ Z}\) ma składać się z liczb?

[Qń]

Co to jest moduł liczby

i dlaczego w ogóle \(\displaystyle{ Z}\) ma składać się z liczb?

\(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) to standardowe oznaczenie zbioru liczb całkowitych.

No i przecież dla dowolnego zbioru treść zadania nie ma sensu, bo czym niby miałaby być suma funkcji gdyby \(\displaystyle{ Z}\) było zbiorem wszystkich żyraf na Ziemi?

Q.

[patry93]

Nie wiem, może sumą w sensie teoriomnogościowym ; P

edit@down - OK.

[Qń]

Suma teoriomnogościowa nieidentycznych funkcji o wspólnej niepustej dziedzinie nigdy nie jest funkcją.

Q.