[MIX] Wymierność i wartość bezwzględna

[laurelandilas]

I. Oblicz:\(\displaystyle{ \sum_{n}^{k=1} \frac{1}{ \sqrt{k+ \sqrt{k ^{2}-1 } } }}\)
II. Pokaż, że jeżeli \(\displaystyle{ p^{3} + q^{2} \ge 0}\) to liczba
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-q+ \sqrt{p^{3}+q^{2}} } + \sqrt[3]{-q- \sqrt{p^{3}+q^{2}} }}\) jest miejscem zerowym funkcji\(\displaystyle{ f(x) = x^{3} + 3px + 2q}\)
III.Oblicz: \(\displaystyle{ \sum_{n}^{k=1} \frac{1}{(k+1) \sqrt{k} + k \sqrt{k+1} }}\)
IV.Zbadaj liczbe rozwiazan rownania\(\displaystyle{ \left| x-1 \right| + \left| x-2\right| + \left| x-3\right| + ... \left| x-(2k+1)\right| = m}\)
W zaleznosci od parametrow \(\displaystyle{ m \in R i k \in N}\)
V.Zbadaj liczbe rozwiazan ukladu\(\displaystyle{ \begin{cases} \left|x+y \right| + \left| x-y\right| = 4 \\ \left| x-1 \right| + \left| y\right| =a \end{cases}}\)
W zaleznosci od parametru\(\displaystyle{ a \in R}\)

[timon92]

2. Podstaw to coś za iksa i zobacz, czy to wyrażenie się zeruje

[ares41]

1)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{k+ \sqrt{k ^{2}-1 } } }= \sum_{k=1 }^{n} \left(\frac{1}{ \sqrt{k+ \sqrt{k ^{2}-1 } } } \cdot \frac{\sqrt{k+ \sqrt{k ^{2}-1 } } }{\sqrt{k+ \sqrt{k ^{2}-1 } } } \right)= \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k+ \sqrt{k ^{2}-1 } } }{k+ \sqrt{k ^{2}-1}}= \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{\sqrt{k+ \sqrt{k ^{2}-1 } } }{k+ \sqrt{k ^{2}-1}} \cdot \frac{ k- \sqrt{k ^{2}-1}}{k- \sqrt{k ^{2}-1}} \right)= \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k+ \sqrt{k ^{2}-1 } } \cdot \left( k- \sqrt{k ^{2}-1}\right)}{k^2-k^2+1}= \sum_{k=1}^{n}\sqrt{k+ \sqrt{k ^{2}-1 } } \cdot \left( k- \sqrt{k ^{2}-1}\right)= \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\left(k+ \sqrt{k ^{2}-1 }\right)\left(k- \sqrt{k ^{2}-1 }\right)^2}= \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\left(k+ \sqrt{k ^{2}-1 }\right)\left(k- \sqrt{k ^{2}-1 }\right)\left(k- \sqrt{k ^{2}-1 }\right)}= \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\left(k^2-k^2+1\right)\left(k- \sqrt{k ^{2}-1 }\right)}= \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k- \sqrt{k^2-1} }=\ldots}\)

[Vax]

@timon92 przejrzyściej będzie bez sprawdzania:

2:    

\(\displaystyle{ x^3+3px+2q=0}\)

\(\displaystyle{ x=u+v}\)

\(\displaystyle{ (u+v)^3+3p(u+v)+2q=0}\)

\(\displaystyle{ u^3+v^3+(u+v)(3uv+3p)+2q=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} uv+p=0\\ u^3+v^3=-2q \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3v^3=-p^3\\ u^3+v^3=-2q \end{cases}}\)

Zauważmy ze wzorów Viete'a, że \(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\) przedstawiają odpowiednio iloczyn oraz sumę pierwiastków trójmianu kwadratowego, możemy przyjąć, że \(\displaystyle{ a=1}\), z układu otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} c=-p^3\\ b=2q \end{cases}}\)

Tak więc nasz trójmian kwadratowy, którego pierwiastkami są \(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\) ma postać:

\(\displaystyle{ z^2+2qz-p^3=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=4q^2+4p^3}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = 2\sqrt{q^2+p^3}}\)

\(\displaystyle{ z_1 = \frac{-2q-2\sqrt{q^2+p^3}}{2} = -q-\sqrt{q^2+p^3}}\)

\(\displaystyle{ z_2 = \frac{-2q+2\sqrt{q^2+p^3}}{2} = -q+\sqrt{q^2+p^3}}\)

\(\displaystyle{ x=u+v}\)

\(\displaystyle{ x = \sqrt[3]{-q-\sqrt{q^2+p^3}}+\sqrt[3]{-q+\sqrt{q^2+p^3}}}\)

cnd.

Pozdrawiam.

[timon92]

4 i 5 skojarzyło mi się z tematem wszechczasów na mathlinksie ... 92&start=0

[alfred0]

3. \(\displaystyle{ \frac{1}{(k+1) \sqrt{k} + k \sqrt{k+1} }= \frac{1}{ \sqrt{k} } - \frac{1}{ \sqrt{k+1} }}\)