[Analiza] Zbiór części ułamkowych gęsty w (0, 1)

[max]

Dla liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) określamy jej część ułamkową \(\displaystyle{ \{x \}}\) przyjmując:
\(\displaystyle{ \{x \} = x - [x]}\), gdzie \(\displaystyle{ [x]}\) - część całkowita \(\displaystyle{ x}\), czyli największa liczba całkowita nie większa od \(\displaystyle{ x}\)

Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie ustaloną liczbą niewymierną. Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N} = \{1, 2, \ldots \}}\) zbiór:
\(\displaystyle{ F = \{ \{n^{k} \alpha \} \ : \ n \in \mathbb{N} \}}\) jest gęsty w \(\displaystyle{ (0, 1)}\), tzn jeśli \(\displaystyle{ 0 < a < b < 1}\), to \(\displaystyle{ (a, b) \cap F \neq \emptyset}\).

Zadanie jest raczej trudne, więc jak nie będzie wychodzić, to proponuję zająć się szczególnymi przypadkami, każdy elementarny dowód dla jakiegokolwiek ustalonego \(\displaystyle{ k > 1}\) mile widziany.

[limes123]

Lemat:
Dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon (0,1)}\) istnieje takie naturalne n, że \(\displaystyle{ \{\alpha n\} n^k\}}\) nie nalezaca do (a,b) i do niej dodawac te liczby postaci \(\displaystyle{ q\{b\cdot \}}\) (q,b - nat) gdzie \(\displaystyle{ \{b\alpha\}}\) jest odpowiednio male, tak aby \(\displaystyle{ n^k+qb}\) bylo k-tą potęgą liczby naturalnej... Intuicyjnie taka liczba bedzie istniec, ale innego pomyslu nie mam... Jak cos jest zle, albo niezrozumiale to piszcie, bo sam mam duze watpliwosci.

[max]

To był ten prosty przypadek:)
Twoje rozumowanie można skrócić, bo jak przyjmiemy w lemacie \(\displaystyle{ \varepsilon = b - a}\), to dostaniemy dla pewnych \(\displaystyle{ n_{1}, n_{2}\in \mathbb{N}}\):
\(\displaystyle{ \{n_{1}n_{2}\alpha\} = n_{1}\cdot \{n_{2}\alpha\}\in (a, b)}\).

[limes123]

No przypadek dla potęg liczb naturalnych można chyba rozważyć podobnie, przez dodawanie określonej ilości odpowiednio małych {an}, tak by otrzymać właśnie potęge l. naturalnej. Tylko, że to jest taki opis słowny, a nad poprawnym zapisem jeszcze pomyślę.

[TomciO]

... 5&t=172978