Równość zbiorów

[mol_ksiazkowy]

temat: Dla jakich \(\displaystyle{ x, y, z \in R}\)
\(\displaystyle{ \left\{ x, y , z \right\} = \left\{ \frac{x-y}{y-z}, \frac{y-z}{z-x}, \frac{z-x}{x-y} \right\}}\)
o ile \(\displaystyle{ x \neq y \neq z \neq x}\) ?!

[ZF+GCH]

Sześć układów trzech równań z trzema niewiadomymi. Napocisz się, ale zrobisz.

[mol_ksiazkowy]

z trzema niewiadomymi

Ukryta treść:    

szkic
Jest tu \(\displaystyle{ xyz=1}\) oraz
a tj. np. \(\displaystyle{ (x, - \frac{1}{1+x}, - \frac{1+x}{x} )}\) gdy \(\displaystyle{ x \neq 0}\) i \(\displaystyle{ x \neq -1}\)
I są to wszystkie rozwiązania.
Jeśli np. \(\displaystyle{ y = \frac{z-x}{x-y}= \frac{z-y}{x-y}+ \frac{y-x}{x-y}= - \frac{y-z}{x-y}-1 \in \{ -\frac{1}{x} -1, \ -\frac{1}{z} -1 \}}\)
Itd.

Np. \(\displaystyle{ \begin{cases}x= 1 \\y =-\frac{1}{2}\\z=-2\end{cases}}\)
to
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{x-y}{y-z}= 1 \\\frac{y-z}{z-x}=-\frac{1}{2}\\\frac{z-x}{x-y}= -2\end{cases}}\)