[Planimetria] trzy lematy

[mol_ksiazkowy]

a) Wykaz fakt ze jesli w czworokąt mozna wpisac okrąg o promieniu r i jednoczesnie opisac na nim okrag o promieniu R, to wtedy \(\displaystyle{ \sqrt{2}r \leq R}\). b) uogolnij to na przypadek n kata uzyskujac iz \(\displaystyle{ \frac{1}{cos(\frac{\pi}{n})} r \leq R}\). c) Dowiesc ze jesli F jest polem wielokata wypuklego , a L dlugoscia lamanej go ograniczajacej, zas R promien najmniejszego koła zawierajacego ten wielokat, to
\(\displaystyle{ \pi R^2-LR+F \leq 0}\) i... Kiedy zachodzi rownosc??

[ Dodano: 23 Sierpnia 2008, 12:22 ]
&dodatkowe: Wykaz ze srednia arytmetyczna wszystkich przekatnych wielokata wypuklego jest wieksza niz srednia arytmetyczna jego boków,

[ Dodano: 28 Sierpnia 2008, 18:12 ]
ad a i b
Lemat:
Ze wszystkich n kątów , opisanych na danym kole K najmniejszy obwód ma wielokat foremny. Ze wszystkich n katów wpisanych
w dane koło k, największe pole ma takze wielokąt foremny.
(klasyk, poza tym jest to intuicyjnie jasne), dowod :mozna uzupełnic

Z lematu mamy ze jesli w n kąt (o polu S) mozna wpisać koło o promieniu r, i opisać na nim koło o promieniu R, to"
\(\displaystyle{ S=pr \geq nr^2tg(\frac{\pi}{n})}\)
\(\displaystyle{ S\leq n \frac{1}{2} R^2 sin(\frac{2\pi}{n})}\)
tj po redukcji
\(\displaystyle{ \frac{1}{cos(\frac{\pi}{n})} r \leq R}\)

dla \(\displaystyle{ n=4}\) \(\displaystyle{ \sqrt{2}r \leq R}\)

[ Dodano: 29 Sierpnia 2008, 01:21 ]
ad c rys.
Obrazek wygasł