[Kombinatoryka] Kombi z wartością bezwzględną

[cyberciq]

Wśród liczb \(\displaystyle{ 1,2,3,...,n+1}\) jedna liczba zostałą skreślona, zaś pozostałe są ustawione w kolejności \(\displaystyle{ a_{1} ,a _{2} ,..., a_{n}}\) w taki sposób , aby wszystkie \(\displaystyle{ n}\) wartości bezwzględnych \(\displaystyle{ \left| a _{1}-a _{2} \right| ,\left| a _{2}- a_{3} \right| ,..,\left|a _{n} -a _{1} \right|}\) różniły się pomiędzy sobą. Dla jakich liczb naturalnych\(\displaystyle{ n \ge 3}\) można to zrobić?

[mol_ksiazkowy]

Zadanie jest ze \(\displaystyle{ 101}\) Nierozwiązanych

Ukryta treść:    

Skoro \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ |m|}\) są tej samej parzystości więc
\(\displaystyle{ |a_1 - a_2| + |a_2 - a_3|+ ... +|a_n - a_1|}\) oraz
\(\displaystyle{ (a_1 - a_2) + (a_2 - a_3)+ ... +(a_n - a_1) = 0}\) są obie parzyste. Jednak
\(\displaystyle{ |a_1 - a_2| , |a_2 - a_3|, ... , |a_n - a_1|}\) to elementy (wszystkie) zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, 2, …,n \}}\) no a:
\(\displaystyle{ 1+2+ ... +n = \frac{n(n+1)}{2}}\) jest parzyste gdy \(\displaystyle{ n =4k}\) lub \(\displaystyle{ n = 4k - 1}\).

w obu tych przypadkach należy spleść rosnący ciąg \(\displaystyle{ 1, 2, 3, ….}\) z malejącym \(\displaystyle{ n+1, n, n-1….}\)
Np.
\(\displaystyle{ n=15}\) (\(\displaystyle{ n=4k - 1}\) ); \(\displaystyle{ 16, 1, 15, 2, 14, 3, 13, 4, 11, 5, 10, 6, 9, 7, 8}\); skreślić \(\displaystyle{ 3k}\)
gdy \(\displaystyle{ n= 4k}\) to skreślić \(\displaystyle{ k + 1}\)