[Nierówności] zawody indywidualne, Zwadroń 2011

Swistak · Post autor: **Swistak** » 19 cze 2011, o 21:55

Dane są takie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x_1, x_2, ..., x_n, y_1, ..., y_n}\) spełniające warunek \(\displaystyle{ x_1 ^2+ x_2 ^2+...+x_n^2=y_1^2+...+y_n^2=1}\) oraz \(\displaystyle{ x_1y_1+...+x_ny_n=0}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ (x_1+...+x_n)^2+(y_1+...+y_n)^2 \le n}\)

Burii · Post autor: **Burii** » 19 cze 2011, o 21:56

Wygląda znajomo:D.

BSP · Post autor: **BSP** » 20 cze 2011, o 03:19

Nie powinno być jeszcze \(\displaystyle{ n \ge 2?}\)
Jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ n=1}\) otrzymujemy sprzeczność

\(\displaystyle{ x_1^2=y_1^2=1}\)
\(\displaystyle{ (x_1)^2+(y_1)^2=2 \le 1}\)

Dalej już wszystko wygląda w porządku

Post autor: **Jan Kraszewski** » 20 cze 2011, o 10:30

BSP pisze:Nie powinno być jeszcze \(\displaystyle{ n \ge 2?}\)

Dla \(\displaystyle{ n=1}\) założenia nie są spełnione, więc nie ma żadnej sprzeczności.

JK