[Funkcje] Znajdź liczby, nierówność funkcyjna

[King James]

Znajdź wszystkie \(\displaystyle{ a \in\RR_{+}}\) dla których istnieje \(\displaystyle{ k \in\RR_{+}}\) i funkcja \(\displaystyle{ f:\RR\to\RR}\) taka, że: \(\displaystyle{ \frac{f(x)+f(y)}{2}\geqslant f(\frac{x+y}{2})+k|x-y|^a}\) dla każdego \(\displaystyle{ x, y\in\RR}\) i \(\displaystyle{ x \ne y}\)?

[arek1357]

jeśli wyliczymy z tego a otrzymamy:

\(\displaystyle{ a \leqslant \frac{ln|\frac{f(x)+f(y)}{2}-f(\frac{x+y}{2})|-ln(k)}{ln|x-y|}}\)

ale chyba mamy że:

\(\displaystyle{ \frac{f(x)+f(y)}{2}-f(\frac{x+y}{2}) \leqslant |f(x)-f(y)|}\)

i nie wiem czy funkcja nie powinna spełniać warunku:

\(\displaystyle{ |f(x)-f(y)| \leqslant |x-y|}\)

czyli otrzymalibyśmy:

\(\displaystyle{ a \leqslant \frac{ln|x-y|-ln(k)}{ln|x-y|}=1-\frac{ln(k)}{ln|x-y|}}\)

w związku z tym 0

[Qń]

ale chyba mamy że:
\(\displaystyle{ \frac{f(x)+f(y)}{2}-f(\frac{x+y}{2}) \leqslant |f(x)-f(y)|}\)

Nie, ta nierówność nie zachodzi w żadną stronę, nie jest trudno narysować sobie stosowną funkcję jako kontrprzykład (przy geometrycznej interpretacji nierówności).

A zadanie rzeczywiście kosmiczne, nie mam specjalnie pomysłu jak je w ogóle ruszyć. Wiem tyle, że jeśli przy ustalonym \(\displaystyle{ a}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) istnieje dla pewnego \(\displaystyle{ k}\), to istnieje też dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) (banalna obserwacja), wiadomo też, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) musi być wypukła (i to "mocno wypukła").

Można wziąć konkretne \(\displaystyle{ a}\), np. \(\displaystyle{ a=1}\) i spróbować wskazać funkcję (lub pokazać, że nie istnieje), taką, że:
\(\displaystyle{ \frac{f(x)+f(y)}{2}\geqslant f(\frac{x+y}{2})+|x-y|}\) dla każdego \(\displaystyle{ x, y R}\)
Pytanie tylko - jak to zrobić?

Pozdrawiam.
Qń.

[andkom]

Załóżmy, że mamy f, k oraz a takie, że nasz warunek jest spełniony.
Wstawiając x=(j+1)/n oraz y=(j-1)/n dostajemy
\(\displaystyle{ \frac{f\left(\frac{j+1}n\right)+f\left(\frac{j-1}n\right)}2\geqslant f\left(\frac jn\right)+k\left|\frac2n\right|^a}\), czyli
\(\displaystyle{ \left(f\left(\frac{j+1}n\right)-f\left(\frac jn\right)\right)-\left(f\left(\frac jn\right)-f\left(\frac{j-1}n\right)\right)\geqslant2^{a+1}kn^{-a}}\)
Sumując uzyskane nierówności po j od j=i do j=n+i-1 (razem n nierówności) dostajemy
\(\displaystyle{ \left(f\left(\frac{n+i}n\right)-f\left(\frac{n+i-1}n\right)\right)-\left(f\left(\frac in\right)-f\left(\frac{i-1}n\right)\right)\geqslant2^{a+1}kn^{1-a}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \left(f\left(\frac{n+i}n\right)-f\left(\frac in\right)\right)-\left(f\left(\frac{n+i-1}n\right)-f\left(\frac{i-1}n\right)\right)\geqslant2^{a+1}kn^{1-a}}\)
Sumując uzyskane nierówności po i od i=1 do i=n (razem n nierówności) dostajemy
\(\displaystyle{ \left(f\left(\frac{n+n}n\right)-f\left(\frac nn\right)\right)-\left(f\left(\frac nn\right)-f\left(\frac0n\right)\right)\geqslant2^{a+1}kn^{2-a}}\)
czyli
\(\displaystyle{ f(2)+f(0)-2f(1)\geqslant2^{a+1}kn^{2-a}}\)
Ponieważ nierówność ta ma być spełniona dla każdego n, a lewa strona od n nie zależy, więc musi być \(\displaystyle{ \boxed{a\geqslant2}}\).

Dla a=2 można wziąć \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) oraz k=1/4, bo mamy
\(\displaystyle{ \frac{x^2+y^2}2=\left(\frac{x+y}2\right)^2+\frac14|x-y|^2}\)

Dla a>2 jako f można wziąć \(\displaystyle{ f(x)=x^2+x^n}\), gdzie n jest dowolną liczbą parzystą niemniejszą, niż a. (Może potem dopiszę, czemu to działa.)