[Równania funkcyjne] złozenie funkcji

[marek12]

Roztrzygnąć czy istnieje funkcja różniczkowalna \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R},}\)taka że \(\displaystyle{ (f \circ f)(x) = \sin x.}\)

[mol_ksiazkowy]

Problem 97 z Nierozwiazanych Problemów

Ukryta treść:    

Komentarz zamiast rozwiązania

Można udowodnić że Jeśli \(\displaystyle{ f(f(x))=g(x)}\) i \(\displaystyle{ g}\) ma (dokładnie) dwa punkty stałe, a \(\displaystyle{ g(g(x))}\) ma (dokładnie) cztery punkty stałe*, to \(\displaystyle{ f}\) nie istnieje; typowy przykład to \(\displaystyle{ g(x)=x^2-2}\).
Jeśli nie to np. \(\displaystyle{ g(x)=x^4}\) to \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) (istnieje \(\displaystyle{ f}\))
Co jeśli \(\displaystyle{ g}\) ma nieparzystą ilość punktów stałych…jak np. \(\displaystyle{ g(x)=\sin(x)}\) ?