[Trygonometria] Liczba Wiliamsa

[mol_ksiazkowy]

Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ max \{sin(\frac{\alpha}{2}) sin(\frac{\beta}{2}) sin (\gamma) : \ \alpha , \beta, \gamma >0, + \beta+ \gamma= \pi \} = \sqrt{1-k^2} k(1-k)}\), gdzie \(\displaystyle{ k=\frac{-1 + \sqrt{13}}{6}}\).

[Tristan]

Jakie jest źródło tej informacji i czy jest tam również zamieszczony dowód?

[Wasilewski]

Możemy zapisać, że:
\(\displaystyle{ z(x,y) = sin \frac{x}{2} sin \frac{y}{2} sin(x+y) \\
x,y > 0 \\
x + y < \pi}\)
Liczymy pochodne cząstkowe:
\(\displaystyle{ z'_{x} = cos(x+y) sin\frac{x}{2} sin\frac{y}{2} + \frac{1}{2} cos\frac{x}{2} sin(x+y) sin\frac{y}{2} = 0 \\
tg\frac{x}{2} + \frac{1}{2} tg(x+y) = 0}\)
Z drugiej pochodnej cząstkowej warunek:
\(\displaystyle{ tg\frac{y}{2} + \frac{1}{2} tg(x+y) = 0}\)
Po odjęciu stronami:
\(\displaystyle{ tg\frac{x}{2} = tg\frac{y}{2} \\
x=y}\)
W zadanym przedziale nie ma innych rozwiązań. Teraz wyliczmy żądaną wartość:
\(\displaystyle{ tg\frac{x}{2} = \frac{sinx}{1+cosx} \\
\frac{sinx}{1+cosx} + \frac{sinx cosx}{2cos^{2}x-1} = 0 \\
sinx \frac{2cos^{2}x - 1 + cos^{2}x + cosx}{(1+cosx)(2cos^{2}x-1)} = 0 \\
3cos^{2}x + cosx - 1 = 0 \\
cosx = \frac{-1 + \sqrt{13}}{6}}\)
Wybieramy ten pierwiastek, bo kąt x jest ostry.
Zauważmy, że naszą funkcję możemy zapisać jako (już z równością x=y):
\(\displaystyle{ z = 2sinx cosx\cdot sin^{2} \frac{x}{2} = sinx cosx (1-cosx) = \sqrt{1-cos^{2}x} cosx(1-cosx)}\)
Po podstawieniu wyliczonej wartości być może dostaniemy tę samą wartość, co w pierwszym poście, ale mi się już nie chce sprawdzać. A w trakcie rozwiązywania wiele rzeczy pomijałem; mam nadzieję, że nie nazbyt wiele.
Wydaje mi się, że wynik z pierwszego posta nie jest poprawny. Rozważmy proste:
\(\displaystyle{ x+y = 2C}\)
Na tych prostych funkcja wygląda tak:
\(\displaystyle{ f(x) = sin(2C) sin\frac{x}{2} sin(C - \frac{x}{2}) = sin2C \frac{cos(x-c) - cosC}{2}}\)
Czyli największa jest dla x=y=C. Zatem trójkąt równoramienny jest zawsze "lepszy". A w takiej sytuacji łatwo sobie posprawdzać wartości funkcji dla różnych argumentów i ja tak zrobiłem; maksymalna wartość wynosiła około 0,22, tyle samo, co mi, natomiast wynik z pierwszego posta to około 0,26.

[mol_ksiazkowy]

natomiast wynik z pierwszego posta to około 0,26

dokładniej , to Liczba Williamsa to 0,2564....
Wasilewski a jakie katy Ci wyszly w tym trojkacie?

[Wasilewski]

Około: 64,25 stopni, 64,25 stopni, 51,5 stopni.