[MIX] Mix matematyczny (26)

[mol_ksiazkowy]

1. Załóżmy że \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) są to liczby rzeczywiste. Wykaż, że układ
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a^2+b^2=2\\c^2+d^2=2\\ac=bd \end{array}\right.}\)
i układ
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a^2+c^2=2\\b^2+d^2=2\\ab=cd \end{array}\right.}\)
są równoważne.
2. Dobierz tak stałą \(\displaystyle{ k}\) tak aby wielomian
\(\displaystyle{ P(x,y,z)= x^5+y^5+z^5 + k(x^3+y^3+z^3)(x^2+y^2+z^2)}\) miał w rozkładzie na czynniki
dzielnik \(\displaystyle{ x+y+z}\). I dalej wykaż, że dla tak dobranej \(\displaystyle{ k}\), \(\displaystyle{ P(x,y,z)}\) ma dzielnik \(\displaystyle{ (x+y+z)^2.}\)
3. Niech \(\displaystyle{ r}\) będzie liczbą wymierną wziętą jako przybliżenie \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). Wykaż że wtedy liczba \(\displaystyle{ \frac{r+2}{r+1}}\) jeszcze lepiej przybliża \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). Czy to samo będzie prawdą dla \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\) ?
4. Niech \(\displaystyle{ a_n}\) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnym takim że \(\displaystyle{ a_{2n}=a_n +n}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\) i takim że jeśli \(\displaystyle{ a_n}\) jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ n}\) też jest liczba pierwsza. Wykaż, że \(\displaystyle{ a_n=n}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\)
5. Niech \(\displaystyle{ n>3}\). Uzasadnij poniższy wzór i podaj jego interpretację kombinatoryczną
\(\displaystyle{ {{n \choose 2} \choose 2 }=3 {n+1 \choose 4}.}\)
6. Ciąg \(\displaystyle{ b_n}\) jest określony rekurencją, tj. \(\displaystyle{ b_0=1}\) i
\(\displaystyle{ b_{n+1}=\frac{b_n}{1+nb_n}}\) dla \(\displaystyle{ n=0, 1, 2,..}\). Oblicz \(\displaystyle{ b_{2010}.}\)
7. Na płaszczyźnie leży \(\displaystyle{ 2n+3}\) punktów, tak iż żadne trzy nie leża na jednej prostej i żadne cztery na jednym okręgu. Wykaż, że wtedy można narysować okrąg przechodzący przez trzy z tych punktów, tak iż z pozostałych \(\displaystyle{ 2n}\) punktów dokładnie \(\displaystyle{ n}\) leży wewnątrz tego okręgu a \(\displaystyle{ n}\) pozostałych na zewnątrz tegoż okregu.
8. Niech \(\displaystyle{ P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n}\) będzie wielomianem takim że \(\displaystyle{ 0 \leq a_i \leq a_0}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2, ...,n}\). I niech \(\displaystyle{ Q(x)=P(x)^2=b_0+b_1x+b_2x^2+....+b_{2n}x^{2n}}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ b_{n+1} \leq \frac{1}{2}P(1)^2.}\)
9. a Oblicz pole obszaru (w \(\displaystyle{ \RR^2}\)): \(\displaystyle{ F_1 = \{(x,y): |x|+ |y|+ |x+y| \leq 2 \}.}\)
b Oblicz objętość figury (w \(\displaystyle{ \RR^3}\)): \(\displaystyle{ F_1 = \{(x,y,z): |x|+ |y|+|z|+ |x+y+z| \leq 2 \}.}\)
Podaj rachunki i rysunki.
10. Wykaż, ze jeśli
\(\displaystyle{ \frac{a}{bc-a^2}+ \frac{b}{ac-b^2}+ \frac{c}{ab-c^2}=0,}\)
to
\(\displaystyle{ \frac{a}{(bc-a^2)^2}+ \frac{b}{(ac-b^2)^2}+ \frac{c}{(ab-c^2)^2}=0}\)
gdy \(\displaystyle{ a,b,c \in \RR.}\)
Powodzenia

[tometomek91]

Czy to rozwiązanie zadania szóstego jest poprawne?
\(\displaystyle{ b_{0}=1\\
b_{n+1}=\frac{b_{n}}{1+nb_{n}}\\
x=\frac{1}{1+n}\\
b_{n}=A\cdot x^{n}\\
1=A \cdot \left (\frac{1}{1+n} \right )^{n} \Rightarrow A=(1+n)^{n}\\
b_{n}=(1+n)^{n} \cdot \left (\frac{1}{1+n} \right )^{n}=1^{n}\\
b_{2010}=1}\)

[Nakahed90]

No nie za bardzo, od razu widać, że ten ciąg jest malejący.

[bosa_Nike]

6.:    

\(\displaystyle{ \frac{1}{b_{n+1}}=\frac{1}{b_n}+n}\)

Więc mamy:

\(\displaystyle{ n=\frac{1}{b_{n+1}}-\frac{1}{b_n}\\ n-1=\frac{1}{b_{n}}-\frac{1}{b_{n-1}}\\ \vdots\\ 2=\frac{1}{b_{3}}-\frac{1}{b_{2}}\\ 1=\frac{1}{b_{2}}-\frac{1}{b_{1}}\\ 0=\frac{1}{b_{1}}-\frac{1}{b_{0}}}\)

Stąd jest: \(\displaystyle{ n\cdot\frac{n+1}{2}=\frac{1}{b_{n+1}}-\frac{1}{b_0}\ \Rightarrow\ b_{n+1}=\frac{2}{2+n(n+1)}\ \Rightarrow\ b_{2010}=\frac{2}{2+2009\cdot 2010}}\)

Chyba teraz bez pomyłki.

[Inkwizytor]

Poza tym \(\displaystyle{ b_1 = \frac{b_0}{1+1 \cdot b_0}= \frac{1}{2}}\) więc juz na wstępie mamy sprzeczność z wnioskiem co do \(\displaystyle{ b_n}\)

[azonips]

Zad. 1

Ukryta treść:    

Wyjdźmy od pierwszego układu. Pomnóżmy pierwsze równanie przez \(\displaystyle{ d^2}\):
\(\displaystyle{ a^2d^2+b^2d^2=2d^2}\)
Skorzystajmy teraz z trzeciego równania:
\(\displaystyle{ a^2(d^2+c^2)=2d^2}\),
skąd na podstawie drugiego równania mamy:
\(\displaystyle{ a^2=d^2}\) (1)
Mnożąc pierwsze równanie przez \(\displaystyle{ c^2}\) i postępując analogicznie uzyskalibyśmy:
\(\displaystyle{ b^2=c^2}\) (2)
I teraz wstawiając w pierwszym równaniu (2) uzyskujemy pierwsze równanie drugiego układu, podobnie wstawiając w drugim równaniu (1) uzyskujemy drugie równanie drugiego układu. Pozostaje trzecie równanie. Rozpada nam się to na cztery przypadki:
\(\displaystyle{ a=d, b=c}\) lub \(\displaystyle{ a=d, b=-c}\) lub \(\displaystyle{ a=-d, b=c}\) lub \(\displaystyle{ a=-d, b=-c}\)
Pierwszy i czwarty przypadek daje trzecie równanie drugiego układu od razu, drugi i trzeci dają zerowanie się dwóch zmiennych i mamy równanie \(\displaystyle{ 0=0}\)

Udowodniliśmy więc, że jeżeli jakaś czwórka spełnia pierwszy układ to i spełnia drugi, odwrotnie analogicznie...

[mol_ksiazkowy]

Mix "zawiesił sie" - a szkoda ad 2

Ukryta treść:    

(* ale tylko pierwsza czesc) Myslac o \(\displaystyle{ P()}\) jako wielomianie zmiennej \(\displaystyle{ x}\), postulujemy ze ma pierwiastek \(\displaystyle{ x=-(y+z)}\)
co prowadzi do \(\displaystyle{ (-y-z)^5+ y^5+ z^5+ k((-y-z)^3+ y^3+ z^3)((-y-z)^2+ y^2+ z^2) \equiv 0}\) Po rozkładzie tego wyrazenia (widac ze pojawi sie m. in czynnik \(\displaystyle{ yz(y+z)}\)) uzyska sie
\(\displaystyle{ -(5+6k)yz(y+z)(y^2+yz+z^2) \equiv 0}\) stak \(\displaystyle{ k=-\frac{5}{6}}\)

[Elvis]

5.

Ukryta treść:    

Nie wiem, czy warto pisać. Wybieramy dwa rozłączne dwuelementowe podzbiory.
L: Ze zbioru dwuelementowych podzbiorów wybieramy dwa.
P: Wybieramy czteroelementowy podzbiór i na jeden z 3 sposobów wybieramy z niego dwa dwuelementowe.

2.

Ukryta treść:    

Oznaczmy \(\displaystyle{ p_1 = x+y+z, \ p_2 = xy+yz+zx, \ p_3 = xyz}\). Łatwo zauważyć, że:
\(\displaystyle{ x^5+y^5+z^5 = p_1^5 - 5p_1^3p_2 + 5p_1^2p_3 + 5p_1p_2^2 - 5p_2p_3 \\
(x^3 + y^3 + z^3)(x^2 + y^2 + z^2) = p_1^5 - 3p_1^3p_2 + 3p_1^2p_3 - 2p_1^3p_2 + 6p_1p_2^2 - 6p_2p_3}\)
Żeby zjadł się składnik \(\displaystyle{ p_2p_3}\) (czyli żeby była podzielność przez \(\displaystyle{ p_1}\)), musimy wziąć \(\displaystyle{ k=-\frac{5}{6}}\). Oczywiście wtedy składnik \(\displaystyle{ p_1p_2^2}\) też się zje (będzie podzielność przez \(\displaystyle{ p_1^2}\)).

[Gacuteek]

Ad. 3

Ukryta treść:    

oznaczmy:
(1) dla \(\displaystyle{ r<\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \theta \in (0,\sqrt{2}-1)}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2} -r=\theta \Rightarrow r=\sqrt{2}-\theta}\)
należy wykazać więc że :
\(\displaystyle{ |\sqrt{2}- \tfrac{r+2}{r+1}|<\theta}\)
\(\displaystyle{ |\sqrt{2}- \tfrac{r+2}{r+1}|=|\sqrt{2}- \tfrac{\sqrt{2}-\theta+2}{\sqrt{2}-\theta+1}|=|\tfrac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-\theta+1) -\sqrt{2}+\theta-2}{\sqrt{2}-\theta+1}|=\tfrac{|2-\theta \sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\theta-2|}{\sqrt{2}-\theta+1}= \tfrac{|\theta - \theta \sqrt{2}|}{\sqrt{2}-\theta+1}=\tfrac{\theta \sqrt{2} - \theta}{\sqrt{2}-\theta+1}}\)
Stwórzmy pomocniczą funkcję:
\(\displaystyle{ f(x)=\theta \sqrt{2} - \theta-\theta(\sqrt{2}-\theta+1)=\theta(\theta-2)<0}\) dla \(\displaystyle{ \theta \in (0,\sqrt{2}-1)}\)
Co dowodzi że \(\displaystyle{ |\sqrt{2}- \tfrac{r+2}{r+1}|<\theta}\)
(2) dla \(\displaystyle{ r>\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \theta \in (0,\sqrt{2}-1)}\)
\(\displaystyle{ r-\sqrt{2} =\theta \Rightarrow r=\theta-\sqrt{2}}\)
należy wykazać więc że :
\(\displaystyle{ |\sqrt{2}- \tfrac{r+2}{r+1}|<\theta}\)
\(\displaystyle{ |\sqrt{2}- \tfrac{r+2}{r+1}|=|\sqrt{2}- \tfrac{\theta-\sqrt{2}+2}{\theta-\sqrt{2}+1}|=|\tfrac{\sqrt{2}(\theta-\sqrt{2}+1) -\theta+\sqrt{2}-2}{\theta-\sqrt{2}+1}|=\tfrac{|\theta \sqrt{2}-2+\sqrt{2}-\theta+\sqrt{2}-2|}{|\theta-\sqrt{2}+1|}= \tfrac{\theta \sqrt{2} -\theta-4+2\sqrt{2}}{\theta-\sqrt{2}+1}}\)
Tworzymy funkcję pomocniczą:
\(\displaystyle{ g(x)=\theta \sqrt{2} - \theta-4+2\sqrt{2}-\theta(\theta-\sqrt{2}+1)=-\theta ^{2}+2\sqrt{2}\theta -2\theta+4-2\sqrt{2}>0}\) dla ustalonego \(\displaystyle{ \theta}\) co dowodzi nierówności.
Pomijam obliczenia "typowo" kartkowe:)
reszta jak znajdę czas. Pozdrawiam. Mam nadzieję że żadnej gafy nie strzeliłem:>

[Elvis]

8.

Ukryta treść:    

Oczywiście \(\displaystyle{ b_{n+1}=a_1a_n + \ldots + a_na_1 \leq a_1^2 + \ldots a_n^2}\) (z tw. o ciągach jednomonotonicznych). Z kolei:
\(\displaystyle{ P(1)^2 = (a_0 + a_1 + \ldots + a_n)^2 = a_0^2 + (a_1 + \ldots + a_n)^2 + 2a_0(a_1 + \ldots + a_n) \geq \\ \geq 2a_0(a_1 + \ldots + a_n) \geq 2(a_1^2 + \ldots a_n^2) \geq 2b_{n+1}}\)

[Ponewor]

Zadanie trafiło do \(\displaystyle{ 101}\) nierozwiązanych.

7.:    

Lemat: Z dowolnego zbioru \(\displaystyle{ n\ge 3}\) punktów można wybrać takie dwa punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), że pozostałe \(\displaystyle{ n-2}\) punkty leżą po jednej stronie prostej \(\displaystyle{ AB}\).
Dowód lematu: Wystarczy wziąć dwa punkty stanowiące jakikolwiek bok otoczki wypukłej tych punktów.
Dowód: Bierzemy punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) o własności z lematu. Teraz`oczywistym jest, że jeżeli \(\displaystyle{ \measuredangle ACB < \measuredangle ADB}\), to punkt \(\displaystyle{ D}\) należy do wnętrza koła \(\displaystyle{ ABC}\). Jeżeli zaś \(\displaystyle{ \measuredangle ACB > \measuredangle ADB}\), to punkt \(\displaystyle{ D}\) leży poza kołem \(\displaystyle{ ABC}\). Zatem jeśli będziemy za punkt \(\displaystyle{ C}\) obierać kolejno takie punkty z pozostałych \(\displaystyle{ 2n+1}\), że wartości \(\displaystyle{ \measuredangle ACB}\) są uszeregowane od najmniejszej do największej, to do wnętrza koła \(\displaystyle{ ACB}\) będzie za każdym razem wchodził jeden dodatkowy punkt. Zaczynają od zera (przy największym możliwym \(\displaystyle{ \measuredangle ACB}\)) i mając do dyspozycji \(\displaystyle{ 2n+1}\) punktów spokojnie osiągniemy w pewnym momencie \(\displaystyle{ n}\) punktów we wnętrzu.