ZAWODY INDYWIDUALNE
Zawody odbywały się identycznie jak drugi etap olimpiady: dwa dni, każdego po 5 godzin na 3 zadania :]
Dzień 1:
Zadanie 1
Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze p, q, dla których \(\displaystyle{ pq|2^p + 2^q}\).
Zadanie 2
Każdy z 2005 klubów w pewnym mieście zrzesza 44 członków. Dla dowolnych dwóch (różnych) klubów istnieje dokładnie jeden człowiek będący członkiem obu tych klubów. Dowieść, że istnieje człowiek będący członkiem wszystkich 2005 klubów.
Zadanie 3
Niech I oznacza środek okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ \bigtriangleup ABC}\). Oznaczmy przez D drugi punkt przecięcia prostej \(\displaystyle{ l_{AI}}\) z okręgiem opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ \bigtriangleup ABC}\). Niech E będzie rzutem prostokątnym punktu I na prostą \(\displaystyle{ l_{BD}}\), a F rzutem prostokątnym punktu I na prostą \(\displaystyle{ l_{CD}}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ |IE| + |IF| = \frac{1}{2}|AD|}\)
Obliczyć miarę kąta \(\displaystyle{ CAB}\)
Dzień 2:
Zadanie 4
Udowodnij, że żadna funkcja \(\displaystyle{ f : R \rightarrow R}\) nie spełnia równania funkcyjnego:
\(\displaystyle{ f(f(x)) = x^2 - 2}\)
Zadanie 5
Udowodnić, że dla liczb \(\displaystyle{ a_1, a_2, ..., a_n}\) spełniających warunek:
\(\displaystyle{ a_1a_2...a_n = 1}\)
zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ {a_1}^{n-1} + {a_2}^{n-1} + ... + {a_n}^{n-1} \geq max(a_1 + a_2 + ... + a_n, \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_n})}\).
Zadanie 6
Dana jest sfera \(\displaystyle{ \Phi}\), leżący na niej okrąg K i punkt A wewnątrz sfery. Każdemu punktowi \(\displaystyle{ X \in K}\) przyporządkujemy punkt \(\displaystyle{ Y \in \Phi}\) tak, że \(\displaystyle{ \overline{XY}}\) jest cięciwą sfery \(\displaystyle{ \Phi}\) przechodzącą przez punkt A. Dowieść, że tak uzyskane punkty Y tworzą okrąg.
Jutro wrzucą jeszcze zadania z zawodów drużynowych, dziś już mi sie nie chce
[ Dodano: Sro Lut 16, 2005 11:49 am ]
ZAWODY DRUŻYNOWE
Wszyscy uczestnicy obozu zostali podzielenie na 10-osobowe grupy. Każda grupa dostała 15 zadań i 4 godziny czasu na ich rozwiązanie.
Zadanie 1
Niech \(\displaystyle{ \Phi (k)}\) oznacza cyfrę jedności liczby naturalnej k (zapisanej w systemie dziesiętnym). Niech \(\displaystyle{ a_1}\) oznacza liczbę naturalną niepodzielną przez 5. Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) określony jest indukcyjnie przez równanie \(\displaystyle{ a_{n+1} = a_n + \Phi (a_n)}\). Dowieść, że w ciągu \(\displaystyle{ (a_n)}\) występuje nieskończenie wiele potęg 2.
Zadanie 2
Rozwiązać w liczbach całkowitych dodatnich równanie \(\displaystyle{ 7^x - 3 * 2^y = 1}\)
Zadanie 3
Wyznaczyć minimalną wartość \(\displaystyle{ |6^n - 7^{2k}|}\) dla \(\displaystyle{ n, k \in N}\).
Zadanie 4
Wyznaczyć wszystkie pary liczb naturalnych \(\displaystyle{ n, m \geq 1}\), dla których
\(\displaystyle{ 2^m - 1|2^n +1}\)
Zadanie 5
Udowodnić, że dla żadnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \geq 2}\) liczba \(\displaystyle{ \frac{3^n - 2^n}{n}}\) nie jest liczbą całkowitą.
Zadanie 6
Funkcja \(\displaystyle{ f : [0, 1] \rightarrow R_+}\) spełnia warunki:
(i) \(\displaystyle{ f(1) = 1}\),
(ii) \(\displaystyle{ f(x + y) \geq f(x) + f(y)}\) dla \(\displaystyle{ x, y, x + y \in [0, 1]}\).
Udowodnić, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in [0, 1]}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ 2x \geq f(x)}\).
Zadanie 7
Wielomian \(\displaystyle{ f(X) = a + bX + cX^2 + dX^3}\) spełnia nierówność \(\displaystyle{ |f(x)| \leq 1}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in [-1, 1]}\).
Udowodnić, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in [-1, 1]}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ |c + 2cx + 3dx^2| \leq 9}\).
Zadanie 8
Niech \(\displaystyle{ \alpha_0, \alpha_1, ..., \alpha_n \in (0, \frac{\Pi}{2})}\) będą takie, że
\(\displaystyle{ tg(\alpha_0 - \frac{\Pi}{4}) + (\alpha_1 - \frac{\Pi}{4}) + ... + (\alpha_n - \frac{\Pi}{4}) \geq n - 1}\).
Dowieść, że \(\displaystyle{ tg\alpha_0 * tg\alpha_1 * ... * tg\alpha_n \geq n^{n+1}}\).
Zadanie 9
Liczby dodatnie \(\displaystyle{ x_1, x_2, ..., x_{2005}}\) spełniają układ warunków
\(\displaystyle{ {x_1}^2 + {x_2}^2 + ... + {x_{2005}}^2 > 2005^2\\x_1 + x_2 + ... + x_{2005} < 4010.}\)
Dowieść, że suma pewnych dwóch z tych liczb jest większa niż 2005.
Zadanie 10
W trójkącie ostrokątnym \(\displaystyle{ \bigtriangleup ABC}\) o bokach długości a, b, c zachodzi równość \(\displaystyle{ 2a = b + c}\). Dowieść, że punkty \(\displaystyle{ A, C_1, B_1, O, I}\), gdzie \(\displaystyle{ C_1}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ \overline{AB}}\), \(\displaystyle{ B_1}\) środkiem boku \(\displaystyle{ \overline{AC}}\), O środkiem okręgu opisanego, zaś I środkiem okręgu wpisanego, leżą na jednym okręgu.
Zadanie 11
Niech \(\displaystyle{ \bigtriangleup ABC}\) - dany trójkąt, \(\displaystyle{ D \overline{BC}}\), \(\displaystyle{ E \overline{CA}}\), \(\displaystyle{ F \overline{AB}}\) - dowolne punkty. Oznaczmy przez U, X, V, Y, W, Z środki odcinków \(\displaystyle{ \overline{BD}, \overline{DC}, \overline{CE}, \overline{EA}, \overline{AF}, \overline{FB}}\) odpowiednio. Wiadomo, że pole \(\displaystyle{ \bigtriangleup ABC}\) wynosi 1. Obliczyć
\(\displaystyle{ S_{\bigtriangleup UVW} + S_{\bigtriangleup XYZ} - \frac{1}{2}S_{\bigtriangleup DEF}}\)
Zadanie 12
Niech X oznacza punkt wewnętrzny trójkąta \(\displaystyle{ \bigtriangleup ABC}\). Udowodnić, że
\(\displaystyle{ S_{\bigtriangleup BCX} * \vec{XA} + S_{\bigtriangleup CAX} * \vec{XB} + S_{\bigtriangleup ABX} * \vec{XC} = \vec{0}}\).
Zadanie 13
Niech \(\displaystyle{ n \leq 1}\) będzie liczbą całkowitą i niech A będzie dowolnym (2n + 1)-elementowym podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ \{ x \in Z : |x| \leq 2n - 1\}}\). Udowodnić, że w zbiorze A znajdą się takie trzy liczby, że ich suma równa jest zero.
Zadanie 14
W każdym wierszu i w każdej kolumnie kwadratowej tablicy \(\displaystyle{ n \times n}\) stoi dokładnie jeden raz liczba 1, dokładnie jeden raz liczba -1 i n-2 razy liczba 0. Operacja elementarna polega na zamianie miejscami dwóch kolumn lub zamianie miejscami dwóch wierszy. Dowieść, że za pomocą pewnej ilości operacji elementarnych można zamienić miejscami położenia +1 i -1.
Zadanie 15
Niech \(\displaystyle{ \Xi_n}\) oznacza zbiór wszystkich n-elementowych ciągów a = \(\displaystyle{ (a_1, a_2, ..., a_n)}\) o wyrazach równych 0 lub 1. Dla \(\displaystyle{ a, b \in \Xi_n}\) oznaczmy przez \(\displaystyle{ p(a, b)}\) ilość elementów zbioru \(\displaystyle{ \{ i : 1 \leq i \leq n, a_i b_i\}}\). Załóżmy, że dla pewnych \(\displaystyle{ a, b, c \in \Xi_n}\) zachodzą równości \(\displaystyle{ p(a, b) = p(b, c) = p(c, a) = k}\). Udowodnić, że
(1) k jest liczbą parzystą,
(2) istnieje \(\displaystyle{ d \in \Xi_n}\) takie, że \(\displaystyle{ p(a, d) = p(b, d) = p(c, d) = \frac{1}{2}k}\).
Zachęcam wszystkich do zamieszczania swoich rozwiązań
