tym razem dane są pewne dwa kąty dowolnego trójkata ...oraz wiadomo jest ze zachodzi poniższy wzór, czy wynika z niego ..odp uzasadnij..., iż :
\(\displaystyle{ \alpha =\beta}\) lub \(\displaystyle{ \alpha + \beta=\frac{\pi}{2}}\)
?
\(\displaystyle{ cos(\alpha)+ cos(\beta) - cos(\alpha)cos(\beta)=sin(\alpha)+sin(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)}\)
[Trygonometria] przyrównanie
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13377
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3425 razy
- Pomógł: 809 razy
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2692
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 664 razy
[Trygonometria] przyrównanie
Nie... (trochę zeszło z szukaniem dowodu na tak)
Gdy \(\displaystyle{ \alpha=0}\), to \(\displaystyle{ \beta=90^{o}}\) i odwrotnie. W pozostałych przypadkach przekształcamy równoważnie:
(*) \(\displaystyle{ \frac{1-\cos }{1-\sin }= \frac{1-\sin \beta}{1-\cos \beta}}\)
Pierwszą ewentualność wykluczymy od razu: \(\displaystyle{ \alpha=\beta}\) - wówczas musiałoby zachodzić: \(\displaystyle{ |1-\cos |=|1-\sin |}\) - co ma miejsce tylko w szczególnym przypadku: \(\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi}{4}}\)
Korzystając z tożsamości:
\(\displaystyle{ 1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \\ 1 - \sin x = 2 \sin^2\left ( \frac{1}{4}\pi -\frac{1}{2} x\right) \\ \sin x \sin y = \frac{\cos (x - y) - \cos (x + y)}{2}}\)
Otrzymujemy po przekształceniach:
\(\displaystyle{ |\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}|=|\sin (\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}) \sin (\frac{\pi}{4} - \frac{\beta}{2})| \\ |cos(\frac{\alpha-\beta}{2})-\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})|=|cos(\frac{\alpha-\beta}{2})-cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2})|}\)
Gdy \(\displaystyle{ \alpha,\beta}\) są ostre, to widać, że opuszczając wartości bezwzględne zachodzi: \(\displaystyle{ \cos(\frac{\alpha+\beta}{2})=\cos(\frac{\pi-\alpha-\beta}{2})}\), czyli \(\displaystyle{ \alpha+\beta=90^{o}}\)
Gdy jeden z kątów jest rozwarty, np. beta, to po pewnych przekształceniach mamy równoważność: \(\displaystyle{ 2 \cos(\beta-\alpha)+1-\sin(\alpha+\beta)=0}\)
Wystarczy wziąć \(\displaystyle{ \beta=105^o}\) i potraktować: \(\displaystyle{ f(\alpha)=2 \cos (105^o-\alpha)+1-\sin(105^o+\alpha)}\) oraz zauważyć, że \(\displaystyle{ f(0)0}\) - z własności Darboux istnieje takie \(\displaystyle{ 0}\)
Gdy \(\displaystyle{ \alpha=0}\), to \(\displaystyle{ \beta=90^{o}}\) i odwrotnie. W pozostałych przypadkach przekształcamy równoważnie:
(*) \(\displaystyle{ \frac{1-\cos }{1-\sin }= \frac{1-\sin \beta}{1-\cos \beta}}\)
Pierwszą ewentualność wykluczymy od razu: \(\displaystyle{ \alpha=\beta}\) - wówczas musiałoby zachodzić: \(\displaystyle{ |1-\cos |=|1-\sin |}\) - co ma miejsce tylko w szczególnym przypadku: \(\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi}{4}}\)
Korzystając z tożsamości:
\(\displaystyle{ 1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \\ 1 - \sin x = 2 \sin^2\left ( \frac{1}{4}\pi -\frac{1}{2} x\right) \\ \sin x \sin y = \frac{\cos (x - y) - \cos (x + y)}{2}}\)
Otrzymujemy po przekształceniach:
\(\displaystyle{ |\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}|=|\sin (\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}) \sin (\frac{\pi}{4} - \frac{\beta}{2})| \\ |cos(\frac{\alpha-\beta}{2})-\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})|=|cos(\frac{\alpha-\beta}{2})-cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2})|}\)
Gdy \(\displaystyle{ \alpha,\beta}\) są ostre, to widać, że opuszczając wartości bezwzględne zachodzi: \(\displaystyle{ \cos(\frac{\alpha+\beta}{2})=\cos(\frac{\pi-\alpha-\beta}{2})}\), czyli \(\displaystyle{ \alpha+\beta=90^{o}}\)
Gdy jeden z kątów jest rozwarty, np. beta, to po pewnych przekształceniach mamy równoważność: \(\displaystyle{ 2 \cos(\beta-\alpha)+1-\sin(\alpha+\beta)=0}\)
Wystarczy wziąć \(\displaystyle{ \beta=105^o}\) i potraktować: \(\displaystyle{ f(\alpha)=2 \cos (105^o-\alpha)+1-\sin(105^o+\alpha)}\) oraz zauważyć, że \(\displaystyle{ f(0)0}\) - z własności Darboux istnieje takie \(\displaystyle{ 0}\)