[Teoria liczb] Równanie Hurwitza

[mol_ksiazkowy]

Równanie to jest bardzo ciekawe i ma postac (chodzi o rownanie diofantyczne, tj rozwiazanie w liczbach całkowitych): (*)
a) Wykaz ze jezeli jest ono rozwiazalne w liczbach naturalnych, to ma takie rozw. \(\displaystyle{ x_i}\) , ze:
\(\displaystyle{ 2x_i \leq ax_1...x_{i-1}x_{i+1}....x_n}\) dla i=1,....n
b) Wykaz, ze przy a>n brak jest rozwiazan
c)Czy sa rozwiazania dla n=4, a=3 ?
d)Jest istnieje rozwiazania takiego rownania, to istnieje ich nieskonczenie wiele
e) Daj przyklad , o ile to mozliwe braku rozwiazan nawet gdy a \(\displaystyle{ x_1^2+...+x_n^2= ax_1....x_n}\) (*)

[Elvis]

a) przejścia równoważne:
\(\displaystyle{ 2x_i \leqslant \frac{ax_1 \ldots x_n}{x_i}}\)
\(\displaystyle{ 2x_i \leqslant \frac{x_{1}^{2} + \ldots + x_{n}^{2}}{x_i}}\)
\(\displaystyle{ 2x_{i}^{2} \leqslant x_{1}^{2} + \ldots + x_{n}^{2}}\)
Ostatnia nierówność wydaje mi się spełnialna.

[mol_ksiazkowy]

Elvis napisal:

Ostatnia nierówność wydaje mi się spełnialna.

hm no chyba.... o ile xi nie bedzie zbyt duze w porownaniu do pozostałych xj. .

[Sylwek]

ad. a) (tu konieczne jest założenie n>1, gdyż inaczej \(\displaystyle{ x_1=a}\) spełnia równanie, nawet gdy a>1) jeśli równanie jest rozwiązywalne w N, to istnieje największa wartość, BSO: \(\displaystyle{ x_n}\), wówczas biorąc jakiekolwiek inne \(\displaystyle{ x_i}\) mamy (równość w drugiej nierówności tylko dla n=2):

\(\displaystyle{ x_i^2 \leqslant x_n^2\leqslant x_1^2+...+x_{i-1}^2+x_{i+1}^2+...+x_n^2}\)

Równoważnie (tak jak 2 posty wyżej):
\(\displaystyle{ 2x_i^2 \leqslant \sum_{k=1}^{n}x_k^2 \\ 2x_i^2 \leqslant a \prod_{k=1}^{n}x_k \\ 2x_i \leqslant a \prod_{k=1}^{i-1}x_k \prod _{k=i+1}^{n}x_k}\)
Co należało dowieść.


ad. e) np. \(\displaystyle{ x_1^2+x_2^2=x_1x_2}\)

Zostały b),c),d)

[mol_ksiazkowy]

Ja tez dodam -na marginesie przyklad rozw gdy a=n =3
moze pomoze to cos np w ad d)?!
\(\displaystyle{ x_1=1}\)
\(\displaystyle{ x_2=2}\)
\(\displaystyle{ x_3=5}\)

[ Dodano: 23 Sierpnia 2008, 20:04 ]
ad d Gdy \(\displaystyle{ x_1}\) nie jest największym z rozwiązań, to weźmy: \(\displaystyle{ x_1'=ax_2\ldots x_n - x_1}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ (x_1')^2+(x_2^2+\ldots+x_n^2)-a(x_1')x_2\ldots x_n=(x_1')((x_1')-ax_2\ldots x_n)+(x_2^2+\ldots+x_n^2)=-(x_1)'x_1+(x_2^2+\ldots+x_n^2)=x_1^2-ax_1x_2\ldots x_n + (x_2^2+\ldots+x_n^2)=0}\)
i mamy nowe rozwiązanie o większej sumie składników, co należało udowodnić
np. n=3=a, \(\displaystyle{ (x_1=1, \ x_2=2, \ x_3=5}\) możemy wziąć: \(\displaystyle{ x_2' =13}\). Nowe rozwiazanie (1,13,5) itd.

[ Dodano: 26 Sierpnia 2008, 14:44 ]
ad b) Lemat
O ile równanie Hurwitza ma rozwiazanie, to istnieje tez takie rozwiazanie \(\displaystyle{ x_1,....x_n}\) ze \(\displaystyle{ \min_{1 \leq j \leq n} \ x_i^{n-2} \leq \frac{n}{a}}\)
dowod lematu w oparciu o a) i nierownosci SA>SG
Z lematu wynika ad b

dla n=4 istnieje rozwiazanie tylko gdy a=1 i a=4.
zob Teoria Liczb W Sierpinski


[ Dodano: 27 Sierpnia 2008, 20:17 ]
Lemat
O ile liczby \(\displaystyle{ x_1, ...x_n}\) spełniaja równanie Hurwitza to
\(\displaystyle{ \min_{ \ 1 \leq j \leq n} \ x_i^{n-2} \leq \frac{n}{a} \leq \max_{ \ 1 \leq j \leq n} \ x_i^{n-2}}\)

Dowód
lewa
Symetria ról \(\displaystyle{ x_j}\) pozwala uporzadkować \(\displaystyle{ x_1 \leq x_2 .... \leq x_n}\) Mamy
\(\displaystyle{ x_1^2+...+x_{n-1}^2 +\frac{1}{4}(ax_1...x_{n-1} -2x_n)^2 = \frac{1}{4}(ax_1...x_{n-1}^2)}\) A skoro \(\displaystyle{ x_{n-1} \leq x_n}\) wiec
\(\displaystyle{ x_1^2+...+x_{n-1}^2 +\frac{1}{4}(ax_1...x_{n-1} -2x_{n-1})^2 \geq \frac{1}{4}(ax_1...x_{n-1}^2)}\) czyli
\(\displaystyle{ x_1^2+....+x_{n-2}^2+2x_{n-1}^2 \geq ax_1...x_{n-2}x_{n-1}^2}\) tj ze: \(\displaystyle{ ax_1...x_{n-2}x_{n-1}^2 \leq nx_{n-1}^2}\) i w końcu
\(\displaystyle{ \frac{n}{a} \geq x_1...x_{n-2} \geq x_1^{n-2} \geq \min_{1 \leq j \leq n} \ x_i^{n-2}}\)

prawa
SA>SG tj
\(\displaystyle{ ax_1...x_n =x_1^2+...x_n^2 \geq n(x_1..x_n)^{\frac{2}{n}}}\) tj
\(\displaystyle{ \frac{n}{a} \leq (x_1...x_n)^{\frac{n-2}{n}} \leq \max_{1 \leq j \leq n} \ x_i^{n-2}}\)

ad c
Nie znam dowodu (ani źrodla) iz równanie
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2+t^2=3xyzt}\)
nie ma rozwiazan w liczbach naturalnych x,y,z,t

[kubek1]

ad c
Nie znam dowodu (ani źrodla) iz równanie
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2+t^2=3xyzt}\)
nie ma rozwiazan w liczbach naturalnych x,y,z,t

W "Złotych rybkach..." było podobne równanie:
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2+t^2=2xyzt}\)
i nie miało rozwiązań, jeśli się nie mylę.