[Teoria liczb][Trygonometria] reszta

[mol_ksiazkowy]

Udowodnij ze reszta z dzielenia liczby naturalnej n przez k>1 równa się wyrazeniu
\(\displaystyle{ \frac{k-1}{2} - \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{k-1} \frac{sin(\frac{j}{k}(2n+1)\pi)}{sin(\frac{j}{k}\pi)}}\)

[ Dodano: 6 Września 2008, 14:42 ]

Niech \(\displaystyle{ f(k,i,j)=\frac{sin(\frac{j}{k} (2i+1) \pi)}{sin( \pi \frac{j}{k})}}\) dla k,i,j całkowite, j niepodzielne przez k.
i \(\displaystyle{ r}\) to reszta z dzielenia n przez k. Mamy wykazać ze
(1) \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{k-1} f(k,n,j) =k-1-2r}\)
Łatwo widac iz
\(\displaystyle{ f(k,n,j) =f(k,r,j)}\) ,
\(\displaystyle{ f(k,0,j)=1 , \ f(k,k-1,j)=-1}\)
oraz jesli liczby \(\displaystyle{ j, i}\) nie dziela sie przez k, to:
(2) \(\displaystyle{ f(k,i,j)- f(k,i-1,j) =f(k,j,i)-f( k,j-1,i)}\)
Mamy wiec
(1) \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{k-1} f(k,n,j) = \sum_{j=1}^{k-1} f(k,r,j)= \sum_{j=1}^{k-1} (1+ \sum_{i=1}^r (f(k,i,j)-f(k,i-1,j)))=
k-1 + \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^{k-1} (f(k,j,i)- f(k,j-1,i)) =k-1 + \sum_{i=1}^r (f(k,k-1,i)-f(k,0,i) )= k-1-2r}\)
cbdo
firmowka , konkursowe Delta 1991 r.