[Nierówności] wykazanie nierównosci w liczbach całkowitych

[darek20]

Niech \(\displaystyle{ a,b,c, d}\) całkowite i takie ze \(\displaystyle{ \lvert\ ad-bc \rvert=1}\) oraz \(\displaystyle{ \lvert\ a \rvert> \lvert\ c \rvert}\) . Pokaż że \(\displaystyle{ a^{2}+ab+b^{2}\ge c^{2}+cd+d^{2}}\).

[arek1357]

niech \(\displaystyle{ |ad-bc|=1}\)

z tego mamy że:

\(\displaystyle{ ad-bc=1}\) lub \(\displaystyle{ ad-bc=-1}\)

czyli:

(1) \(\displaystyle{ d= \frac{1+bc}{a}}\)

lub:

(2) \(\displaystyle{ d= \frac{bc-1}{a}}\)

teraz jeśliby \(\displaystyle{ |b|>|d|}\) to nierówność jest prawdziwa, załóżmy że:

\(\displaystyle{ |b|<|d|}\)

podstawmy za \(\displaystyle{ d}\) (1) i (2) po skróceniu i wyliczeniu a otrzymamy:

z (1)

\(\displaystyle{ |a|<|c+ \frac{1}{b} |}\)

z (2)

\(\displaystyle{ |a|<|c- \frac{1}{b} |}\)

ale wiemy , że: \(\displaystyle{ |a|> |c|}\) czyli raczej sprzeczność, biorąc pod uwagę że są to liczby całkowite

wynika stąd, że : \(\displaystyle{ |b| > |d|}\) co chyba dowodzi tezy
Mogłem się gdzies zaplątać w minusy ...

[mol_ksiazkowy]

Zadania cd

jeśliby |b|>|d| to nierówność jest prawdziwa

Ukryta treść:    

Ogólnie jednak, jeśli \(\displaystyle{ |a|>|c|}\) i \(\displaystyle{ |b|>|d|}\) to nie implikuje \(\displaystyle{ a^2+ab+b^2 \geq c^2+cd+d^2}\)
np. \(\displaystyle{ a = -4 \ b= 2 \ c=3 \ d=1}\) itp.