[Planimetria] Trójkąt, punkt określony równością

[bron]

Punkty A,B,C są wierzchołkami trójkąta. Punkt D spełnia warunek \(\displaystyle{ \vec{BD}=\vec{AB}}\), punkt E jest symetryczny do punktu B względem wierzchołka C, punkt M jest określony równością \(\displaystyle{ \vec{3AM}=\vec{2AE}}\). Wykaż, że punkt M należy do prostej CD.

[Wasilewski]

W tym zadaniu rozwiązanie analityczne nie zawodzi. Niech wierzchołki trójkąta mają takie współrzędne:
\(\displaystyle{ B = (0,0) \\
A = (a,b) \\
C = (c,0)}\)
Wobec tego punkt D ma współrzędne \(\displaystyle{ (-a, -b)}\), punkt E - \(\displaystyle{ (2c, 0)}\), a punkt M:
\(\displaystyle{ (a + \frac{2}{3} (2c-a), b + \frac{2}{3} (0-b) ) = (\frac{1}{3}a + \frac{4}{3}c, \frac{1}{3}b)}\)
Wobec wzoru:
\(\displaystyle{ a(x-x_{0}) = y - y_{0}}\)
prosta CD ma równanie:
\(\displaystyle{ y - 0 = \frac{0 - (-b)}{c - (-a)} (x - c) \\
y = \frac{b}{c+a}x - \frac{bc}{c+a}}\)
Po wstawieniu do tego równania współrzędnych punktu M łatwo przekonujemy się, że je spełnia. Pozostaje jeszcze zauważyć, że w przypadku, gdy a = -c, to współrzędna x-owa punktu M jest równa c, więc nadal jest wszystko w porządku.

[Sylwek]

Jakoś po starcie tegorocznego OM polubiłem geometrię, powyższe zadanie zajęło mi 2-3 minuty (a co, pochwalę się, w końcu długo to była moja pięta achillesowa )

Niech X będzie połową boku AM. Wówczas: AX=XM=ME=x. Niech T będzie punktem przecięcia prostej AB i prostej MC. Wówczas z Talesa:

\(\displaystyle{ \frac{AX}{AB}=\frac{AM}{AT}=\frac{2AX}{AT}}\), zatem: \(\displaystyle{ AT=2AB}\) oraz punkt T leży na półprostej \(\displaystyle{ AB^{\rightarrow}}\), toteż T=D, co kończy dowód zadania