[Stereometria] Suma kwadratów pól

[mol_ksiazkowy]

Dany jest czworościan, w którym trzy ściany są do siebie parami prostapadłe. Wykaż, że kwadrat pola czwartej ściany jest równy sumie kwadratów pól tychże trzech ścian.

[Lady Tilly]

Wydaje mi się, że ten czworościan będzie wyglądał w ten sposób, że podstawa jest trójkątem prostokątnym oraz dwie ściany , które są obok siebie i łączą się z przyprostokątnymi krawędziami podstawy są również trójkątami prostokątnymi. Kilka operacji rachunkowych powinno załatwić sprawę. Nie mam teraz zbytnio czasu.

[Sylwek]

Niech boki o długości a,b,c będą do siebie wzajemnie prostopadłe. Suma kwadratów pól wynosi: \(\displaystyle{ L=\frac{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}{4}}\)

Pozostałe trzy krawędzie mają długości: x,y,z: \(\displaystyle{ x=\sqrt{a^2+b^2}, y=\sqrt{b^2+c^2}, z=\sqrt{c^2+a^2}}\), ze wzoru Herona kwadrat pola czwartej ze ścian wynosi (po otworzeniu nawiasów we wzorze Herona):
\(\displaystyle{ P=\frac{-x^4-y^4-z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2}{4}=\ldots=\frac{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}{4}}\)

L=P, co należało dowieść.

[anna_]

Mały błąd, powinno być:
\(\displaystyle{ P=\frac{-x^4-y^4-z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2}{16}}\)