[Nierówności] Dwie liczby

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ x >0}\) i \(\displaystyle{ y >0}\) :
\(\displaystyle{ (\frac{1}{3} (x+ (xy)^{\frac{1}{2}}+ y))^{\frac{1}{3}} = (\frac{1}{2}(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}))^{\frac{1}{2}}}\)
Czy \(\displaystyle{ x=y}\) ?

[arek1357]

Ja to tak zrobiłem:

ale naszły mnie też wątpliwości pewne o których potem:

Najpierw sobie inaczej zapisałem:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{1}{3}(x+y+ \sqrt{xy} )}= \sqrt{ \frac{1}{2}( \sqrt[3]{x^{2}}+ \sqrt[3]{y^{2}})}}\)

po podniesieniu do 6 i zlikwidowaniu ułamków otrzymamy:

\(\displaystyle{ 8(x+y+ \sqrt{xy} )^{2}=9( \sqrt[3]{x^{2}}+ \sqrt[3]{y^{2}} )^{3}}\)

Teraz jak spotęgujemy nawiasy i potasujemy i przeniesiemy na stronę lewą otrzymamy:

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-24xy-16x \sqrt{xy}-16y\sqrt{xy}+27x \sqrt[3]{xy^{2}}+27y \sqrt[3]{x^{2}y}=0}\)

teraz zróbmy podstawienie:

\(\displaystyle{ x= \frac{t^{2}}{z}}\)

\(\displaystyle{ y= \frac{z^{2}}{t}}\)

Po podstawieniu i potasowaniu otrzymamy:

\(\displaystyle{ ( \frac{t^{2}}{z}+ \frac{z^{2}}{t} )^{2} -16 \sqrt{zt}(\frac{t^{2}}{z}+ \frac{z^{2}}{t}) +27t^{2}+27z^{2}-26zt=0}\)

teraz to przekształćmy w ten sposób że to co w nawiasach sprowadzimy do wspólnego mianownika i rozłożymy na czynniki:

\(\displaystyle{ \frac{(t+z)^{2}(t^{2}+z^{2}+tz)^{2}}{(tz)^{2}}-16 \sqrt{tz}\frac{(t+z)(t^{2}+z^{2}+tz)}{(tz)}+27(t^{2}+z^{2})-26tz=0}\)

jeszcze jedno przekształcenie:

\(\displaystyle{ \frac{(t+z)^{2}[(t+z)^{2}-3tz]^{2}}{(tz)^{2}}-16 \sqrt{tz}\frac{(t+z)[(t+z)^{2}-3tz]}{(tz)}+27[(t+z)^{2}-2tz]-26tz=0}\)

Pomnóżmy wszystko przez tz do drugieji zlikwidujemy mianowniki:

\(\displaystyle{ (t+z)^{2}[(t+z)^{2}-3tz]^{2}-16tz \sqrt{tz}(t+z)[(t+z)^{2}-3tz]+27(tz)^{2}(t+z)^{2}-80(tz)^{3}=0}\)

Teraz zróbmy podstawienie:

\(\displaystyle{ t+z=a}\)

\(\displaystyle{ tz=b^{2}}\)

Po podstawieniu opuszczeniu nawiasów i uporządkowaniu mamy:

\(\displaystyle{ a^{6}-6a^{4}b^{2}-16a^{3}b^{3}+36a^{2}b^{4}+48ab^{5}-80b^{6}=0}\)

teraz zróbmy kolejne podstawienie i już mi sie kończy koncepcja więc znowu x będzie czyli
dzielimy wszystko przez b do szóstej i podstawiamy:

\(\displaystyle{ \frac{a}{b}=x}\)

i mamy równanie stopnia 6:

\(\displaystyle{ x^{6}-6 x^{4}-16 x^{3}+36 x^{2}+48x-80=0}\)

łatwo sprzwdzić , że podwójnym pierwiastkiem tego równania będzie 2 czyli jednym z rozwiązań tego równania będzie 2
można to równanie zapisać:

\(\displaystyle{ (x-2)^{2}(x^{4}+4x^{3}+6x^{2}-8x-20)=0}\)

i łatwo teraz zauważyć , że skoro x=2 to pamiętając , że a/b=x musi być:a=2b

czyli wczesniejsze podstawienie t+z=a=2b
\(\displaystyle{ tz=b^{2}}\)

rozwiązując ten układ rwnań mamy:

t=b , z=b

ale wracając do pierwszego podstawienie:

\(\displaystyle{ x= \frac{t^{2}}{z}=b}\)

\(\displaystyle{ y= \frac{z^{2}}{t}=b}\)

co daje x=y
cnd...

-- 4 stycznia 2010, 11:09 --

Ale mam jeszcze dylemat , rowiązaniem tego równania stopnia 4 będą jeszcze inne liczby (jeszcze nie liczyłem) i w związku z tym x i y może spełniać jeszcze inną zależność a po drugie skoro x=y to czemy pochodna naszego wyjściowego wyrażenie po x i po y nie jest stała??

-- 4 stycznia 2010, 16:36 --

Warto rozwiązać równanie 4 stopnia i wtedy będzie wiadomo jaka może być zależność między x i y

Próbowałem to rozwiązywać ale zwykłe metody zawodzą chyba trzeba wziąć najcięższe działa czyli wzory
na 4 stopień wrrrr...... a pierwiastek między 1 i 2 na pewno będzie.
Wynika stąd, że w jedną stronę to zadanie jest prawdziwe czyli jeżeli się podstawi y=x to będzie spełniać nasze równanie wyjściowe, ale w drugą stronę może być że nie tylko y=x ale coś jeszcze może być!!!

-- 4 stycznia 2010, 17:30 --

Wygląda na to że jest jeszcze 4 pierwiastki prawdopodobnie rzeczywiste

-- 10 stycznia 2010, 15:26 --

Sprawdziłem na kreatorze wykresów , że to równanie 4 go stopnia ma jeszcze tylko 2 pierwiastki
jeden między 1 a 2 (dodatni) a drugi między -1 a -2 więc nas interesuje ten dodatni zobaczmy co z tego wyjdzie niech r dodatni pierwiastek równania 4 stopnia 1<r<2

czyli biorąc pod uwagę podstawienia:

a=br

t+z=a=br
tz=bb

rozwiązując go mamy równanie kwadratowe:

\(\displaystyle{ t^{2}-brt+b^{2}=0}\)

\(\displaystyle{ D=b^{2}r^{2}-4b^{2}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{D}=b \sqrt{r^{2}-4}}\)

Zauważmy , że pod pierwiastkiem jest liczba <0 więc to równanie nie ma rozwiązania


zostaje tylko nasze x=2
podobnie będzie na rozwiązaniu ujemnym...-- 10 stycznia 2010, 15:30 --podejrzewam że nasze wyjściowe dwie liczby można zapisać w ten sposób:

\(\displaystyle{ (x-y)^{2}*R(x,y)=0}\)

gdzie R(x,y)jest >0 czyli będzie to zbiór pusty.

zresztą na kreatorze wykresów to nasze wyjściowe równanie zapisane tak jak leci daje w wykresie linię prostą y=x ...

i to chyba tłumaczy wszystko...

[Ponewor]

Zadanie pojawiło się w \(\displaystyle{ 101}\) nierozwiązanych.

Niech \(\displaystyle{ a=\sqrt[6]{x}}\) i \(\displaystyle{ b=\sqrt[6]{y}}\).
Równanie przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\frac{1}{3}\left(a^{6}+a^{3}b^{3}+b^{6}\right)}=\sqrt[2]{\frac{1}{2}\left(a^{4}+b^{4}\right)}}\)
Podnosimy obustronnie do szóstej potęgi, redukujemy i mamy:
\(\displaystyle{ a^{12}+b^{12}-16a^{9}b^{3}-16a^{3}b^{9}+27a^{8}b^{4}+27a^{4}b^{8}-24a^{6}b^{6}=0}\)
Czyli równoważnie (dla niewiadomych równych zachodzi równość, więc korzystamy wielokrotnie z twierdzenia Bézouta):
\(\displaystyle{ \left(a-b\right)^{4}\left(4a^{7}b+10a^{6}b^{2}+4a^{5}b^{3}+\left(a^{4}-b^{4}\right)^{2}+4a^{3}b^{5}+10a^{2}b^{6}+4ab^{7}\right)=0}\)
Skąd jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ a=b}\), czyli \(\displaystyle{ x=y}\).