[Równania] równanie z parametrem

[robin5hood]

Znaleźć wszystkie \(\displaystyle{ c>0}\) dla których istnieją dokładnie 3 pary \(\displaystyle{ (x,y)}\) liczb naturalnych takie ze \(\displaystyle{ xy^2 - y^2 - x + y=c}\)

[JHN]

Gdyby było
\(\displaystyle{ xy - y^2 - x + y=c\iff (x-y)(y-1)=1\cdot c=\sqrt c\cdot\sqrt c=c\cdot 1}\)
to napisałbym: \(\displaystyle{ c=p^2\wedge p\in\mathbb P}\)
ale nie jest
Pozdrawiam
PS. Zastosowałem oznaczenie: \(\displaystyle{ \mathbb P=\{n\in\mathbb N; |D_n|=2\}}\), czyli zbiór liczb pierwszych

[Wasilewski]

Można próbować w ten sposób:
\(\displaystyle{ x(y^2 -1) = c +y^2 - y \\
x = \frac{c}{y^2-1} + \frac{y+1 -1}{y+1} = \frac{c}{y^2-1} - \frac{y-1}{y^2-1} + 1 = 1 + \frac{c-y+1}{y^2-1}}\)
I sprawdzać, kiedy ten ułamek jest liczbą całkowitą.
Czyli musiałoby być:
\(\displaystyle{ c - (y-1) = k(y+1)(y-1) \\
c = k(y^2-1) + (y-1)}\)
c jest ustalone, ale możemy manipulować k. I mamy parę możliwości, żeby były trzy rozwiązania. Jedną z nich, delta 0 dla pewnego k i dwa pierwiastki całkowite dla innego k od razu odrzucamy (bo dla zerowej delty nigdy nie będzie całkowitego pierwiastka). Możemy mieć również kilka k, dla których delta będzie kwadratem liczby całkowitej, ale tylko trzy z pierwiastków będą całkowite. Najpierw jednak trzeba się zająć tym, by delta była kwadratem liczby całkowitej, a dopiero potem rozpatrywać problem całkowitych pierwiastków.

[Sylwek]

A może po prostu: \(\displaystyle{ xy^2-y^2-x+y=c \iff (y-1)(xy+x-y)=c}\), ale nie wiem jak to kontynuować (myślałem, że c jest kwadratem liczby pierwszej, ale drugi nawias bardzo psuje sprawę).

[mol_ksiazkowy]

oh a ja poszedłem jeszcze inna droga...Przekształciłem w \(\displaystyle{ x=1+\frac{c-y+1}{y^2-1}}\) i wstawiałem pod C, konkretne liczby aby ułamek \(\displaystyle{ \frac{c-y+1}{y^2-1}}\) miał przy y=1, 2,... C, dokladnie trzy wartości całkowite, ale okazuje sie trudne znalesc takie C....?!

[ Dodano: 27 Sierpnia 2008, 23:11 ]
Nasuwa sie wiec pytanie: jaka jest najmniejsza C o tej wlasnosci, jw

[Brycho]

Wykażemy, że nie istnieje liczba \(\displaystyle{ c}\) o postulowanej własności.

Niech \(\displaystyle{ f(x,y)=xy^2-y^2-x+y}\).
Oznaczmy \(\displaystyle{ A=\{ \mathbb Z_+ \times \{0\} \}}\); \(\displaystyle{ B=\{ \{0\} \times \mathbb Z_+\}}\); \(\displaystyle{ C=\{ \mathbb Z_+ \times \{1\} \}}\); \(\displaystyle{ D=\{ \{1\} \times (\mathbb Z_+ \setminus \{1\})\}}\); \(\displaystyle{ E=\{(\mathbb Z_+ \setminus \{1\})^2\}}\).
Zbiory \(\displaystyle{ \{ (0,0)\}, A, B, C, D, E}\) są nawzajem rozłączne i dają w sumie \(\displaystyle{ \mathbb N^2}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbb N}\) to zbiór liczb całkowitych nieujemnych.
Jeśli \(\displaystyle{ (x,y) \in \{ (0,0)\}, A, B, C, D, E}\) to \(\displaystyle{ f(x,y)}\) wynosi kolejno \(\displaystyle{ 0, -x, -y^2+y, 0, y-1}\) oraz \(\displaystyle{ xy^2-y^2-x+y}\).

Wróćmy do treści zadania. Szukamy takiej dodatniej liczby \(\displaystyle{ c}\), aby równanie \(\displaystyle{ f(x,y)=c}\) miało dokładnie trzy rozwiązania w \(\displaystyle{ \mathbb N^2}\).

Zauważmy najpierw, że \(\displaystyle{ f}\) jest niedodatnia w zbiorach \(\displaystyle{ \{ (0,0)\}, A, B, C}\).
Jest też rosnąca względem \(\displaystyle{ y}\) w \(\displaystyle{ D}\) (w którym to zbiorze \(\displaystyle{ x}\) jest stałe).
Ponadto \(\displaystyle{ f(x,y)=(x-1)y^2+y-x=(y^2-1)x-y^2+1}\), zatem \(\displaystyle{ f}\) jest w \(\displaystyle{ E}\) rosnąca i względem \(\displaystyle{ x}\) i względem \(\displaystyle{ y}\).
Wykazaliśmy zatem, że jedynymi zbiorami, w których mogą istnieć dodatnie wartości \(\displaystyle{ f}\) są zbiory \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\) oraz, że \(\displaystyle{ f}\) w tych zbiorach (w każdym z osobna) jest różnowartościowa. Wynika z tego, że równanie \(\displaystyle{ f(x,y)=c}\) nie może mieć trzech różnych rozwiązań w \(\displaystyle{ \mathbb N^2}\) dla żadnego dodatniego \(\displaystyle{ c}\).

To jest źle. Jedyna co z tego wynika, to że wystarczy znaleźć takie \(\displaystyle{ c}\), by wspomniane równanie miało dokładnie dwa rozwiązania w \(\displaystyle{ E}\) (bo trzecie zawsze się znajdzie w \(\displaystyle{ D}\)).

[Ponewor]

Czyli musiałoby być:
\(\displaystyle{ c - (y-1) = k(y+1)(y-1) \\
c = k(y^2-1) + (y-1)}\)

A może po prostu: \(\displaystyle{ xy^2-y^2-x+y=c \iff (y-1)(xy+x-y)=c}\)

Kontynuowałem te przekształcenia i wyszło:
\(\displaystyle{ c = k(y^2-1) + (y-1) = (y-1)(k(y+1)+1)}\)
\(\displaystyle{ c=(y-1)(xy+x-y)=(y-1)(x(y+1)-y)=(y-1)((x-1)(y+1)+1)}\)

Szczególnie podejrzane jest podobieństwo: \(\displaystyle{ (y-1)(k(y+1)+1)}\) oraz \(\displaystyle{ (y-1)(x(y+1)-y)}\).

Od siebie dorzucę coś może niezbyt odkrywczego, a mianowicie: dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ c}\) istnieje para \(\displaystyle{ (x, y) = (1, c+1)}\)

[Sylwek]

Można podejść tak - w zależności od \(\displaystyle{ t=y-1}\) sprawdzamy, jakie \(\displaystyle{ c}\) pasują. Dla \(\displaystyle{ t \le 0}\) mamy sprzeczność, więc interesujemy się, co gdy \(\displaystyle{ t \ge 1}\). Jak wcześniej powiedziano:
\(\displaystyle{ x-1=\frac{c-t}{t(t+2)}}\)

\(\displaystyle{ x=0}\) natychmiast odpada, gdy \(\displaystyle{ x=1}\), to \(\displaystyle{ y=c+1}\), zatem zajmijmy się \(\displaystyle{ x \ge 2}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{c-t}{t(t+2)} \in \mathbb{Z_+}}\) i szukamy wówczas takich "c", gdzie dla dokładnie dwóch "t" dodatnich ten napis jest w \(\displaystyle{ \mathbb{Z_+}}\)

No więc po prostu wypiszmy kilka możliwości przy tych założeniach:
\(\displaystyle{ t=1}\), pasują: \(\displaystyle{ c \in \lbrace 4,7,10,13, \ldots \rbrace}\)
\(\displaystyle{ t=2}\), pasują: \(\displaystyle{ c \in \lbrace 10,18,26,34, \ldots \rbrace}\)
\(\displaystyle{ t=3}\), pasują: \(\displaystyle{ c \in \lbrace 18,33,48,63, \ldots \rbrace}\)
\(\displaystyle{ t=4}\), pasują: \(\displaystyle{ c \in \lbrace 28,52,76,100, \ldots \rbrace}\)
\(\displaystyle{ t=5}\), pasują: \(\displaystyle{ c \in \lbrace 40,75,110,145, \ldots \rbrace}\)

Ogólnie dla ustalonego \(\displaystyle{ t}\) pasują \(\displaystyle{ c}\) postaci \(\displaystyle{ t(t+2) \cdot q + t}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ q \ge 1}\)

Np. w zbiorze szukanych \(\displaystyle{ c}\) znajdują się: 10, 34, 18, 28, 40 (nieparzyste też istnieją, np. 145).

Problem raczej beznadziejnie trudny do opisania. Ewentualnie: "są to takie \(\displaystyle{ c}\), że istnieją dokładnie dwie liczby całkowite \(\displaystyle{ t}\) ze zbioru \(\displaystyle{ \langle 1, \sqrt{c} )}\), dla których powyższy ułamek przyjmuje wartość całkowitą".

Prostszym zadaniem jest:

czy zbiór \(\displaystyle{ c}\) o powyższej własności jest skończony

[Utumno]

Odpowiedzią jest każde c, dla którego istnieją dokładnie 2 takie k<c, ze c-k jest podzielne przez k(k+2) (*), czyli (jadąc od dołu) 10,18,28,34,40,52,70,76,88,100...

Takich liczb jest nieskończenie wiele, np. każda liczba postaci 4(6n+1) gdzie 6n+1 jest liczbą pierwszą. Łatwo zobaczyć, ze wtedy tylko k=1 i k=4 spełniają (*).

[mol_ksiazkowy]

na APS istnieje takie rozwiązanie problemu:

Ukryta treść: