[Kombinatoryka][Teoria liczb] Symbol Newtona, podzielnosc.

[qsiarz]

dla jakich n calkowitych wiekszyc od 1 liczby \(\displaystyle{ {n \choose 1}{n \choose 2},...,{n \choose n-1}}\) maja wspolny dzielnik wiekszy od 1.

doszedlem do tego ze jak n jest pierwsze to heja banana i wszystko dziala
jak n jest potega liczby pierwszej to wydaje mi sie (dowodu nie umiem) ze tez jest ok.
jak jest zlozona to nie dziala (tez nie umiem udowodnic) prosze o pomoc.

[tom612pl]

Widzę, że śledzisz zadanka ze Zwardonia.
Tak się składa, że tam byłem i je zrobiłem. Hipotezę masz w porządku.
Podpowiem, że skorzystałem z tw. Legendre'a - tego na potęgę w jakiej występuje liczba pierwsza w rozkładzie na czynniki n!
Dla potęgi liczby pierwszej p ten wspólny dzielnik to oczywiście p.
Dla pozostałych dla każdego dzielnika n znajdź kontrprzykład.
(ostrzegam, że nie jest to najpiękniejsze rozwiązanie, ale zostało ocenione na 6).

[mol_ksiazkowy]

jak n jest pierwsze to heja banana i wszystko dziala

Ukryta treść:    

Jeśli \(\displaystyle{ \frac{{p \choose k}}{p}= \frac{(p-1)....(p- (k-1))}{k!}= \frac{m}{n}}\) gdy \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) są względnie pierwsze, to
\(\displaystyle{ pm}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ n}\) więc \(\displaystyle{ n=p}\) lub \(\displaystyle{ n=1}\) , ale \(\displaystyle{ n=p}\) niemożliwe bo \(\displaystyle{ mk!}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ p}\) (bo \(\displaystyle{ 0<k<p}\) )
intuicyjnie :
W iloczynie \(\displaystyle{ (1... k)(1 ... (p-k))}\) nie ma czynnika \(\displaystyle{ p}\)
p. XXII OM