[Kombinatoryka] Planety

[mol_ksiazkowy]

Gdzieś daleko jest pewien układ ......i na każdej jego planecie znajduje się astronom obserwujący najbliższa mu planete. Wszystkie odległości między planetami ukłądu są różne. Wykazać, że jeśli ilość planet układu jest liczbą nieparzysta, to jednej spośród nich nikt nie obserwuje.

[Sylwek]

Nie wprost, przypuśćmy, że każdą planetę ktoś obserwuje, czyli każdy obserwuje inną. Istnieją planety, których odległość od siebie jest najmniejsza spośród wszystkich odległości par planet (niech będą to \(\displaystyle{ A_1,A_2}\)). Zatem \(\displaystyle{ A_1}\) jest obserwowana przez \(\displaystyle{ A_2}\) i vice versa). Zatem W myśl naszego dowodu, planety \(\displaystyle{ A_1}\), \(\displaystyle{ A_2}\) są już nieistotne w dalszym rozumowaniu, możemy je "wykreślić". Zauważmy, że po każdym kolejnym wykreśleniu pozostała "niewykreślona" liczba planet jest nieparzysta, zatem w końcu zostanie jedna planeta, która nikogo nie obserwuje - sprzeczność, gdyż istnieje najbliższa jej planeta.

Otrzymana sprzeczność pokazuje prawdziwość tezy.

[mol_ksiazkowy]

Zatem W myśl naszego dowodu, planety , są już nieistotne w dalszym rozumowaniu, możemy je "wykreślić".

Jest to słuszne ale wymaga -byc moze- uscislenia. Jesli bowiem ktorys z pozostalych n-2 astronomow obserwuje \(\displaystyle{ A_1}\) lub \(\displaystyle{ A_2}\) to znaczy ze istnieje planeta, obserwowana przez dwóch różnych astronomow i teza jest oczywista. Brawo

[allaakpa]

jest duzo prostsze rozumowanie...
wiemy ze odleglosci sa rozne czyli 2 planety majace najmniejsza odleglosc miedzy nimi musza sie przygladac sobie...
bo patrza najblizej... wtedy jak jest trzecia to musi patrzec na jakas z nich nie bedac patrzona na nia przez nikogo...
no i dopiero jak bedzie czwarta to moze na trzecia patrzec ale nie musi bo jak bedzie patrzec na trzecia
to trzecia musi patrzec na czwarta bo patrza najblizej... no i tak w kolo jak sie doda piata to tak w kolo